AMC 10 · 2008 · #16

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

logarithm-propertiessequences-arithmeticsystems-of-equations convert-to-algebrapattern-recognition ↑ 선수 지식: logarithm-properties

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 밑의 곱에 대한 로그 셋이 등차수열의 처음 세 항이다. 제12항이 한 밑의 어떤 거듭제곱의 로그와 같다. 그 지수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

112

(E)

143

풀이 과정

전략 변수 도입하기

로그가 복잡해 보이지만 log(a^x b^y) = x log a + y log b 이므로, 문제에 나오는 모든 항은 결국 log a 와 log b 라는 단 두 수의 고정된 조합이다. 이 두 수에 이름을 붙이면 문제 전체가 미지수 두 개짜리 일차식 문제로 바뀐다. 그러면 등차 조건은 방정식 하나가 되고, 그 방정식이 log a 와 log b 의 비를 결정하는 순간 모든 항은 log b 의 단순한 배수로 무너져 패턴을 세는 일만 남는다. 마지막에 log b 를 약분하는 단계가 이 문제가 조용히 무너질 수 있는 유일한 지점이므로, 가정하지 않고 반드시 확인한다.

1STEP 1

두 로그에 이름 붙이기

두 로그에 이름을 붙이면 모든 항이 가중합이 된다.

log(a^x b^y) = xA + yB, A=log a, B=log b

2STEP 2

등차 조건을 방정식 하나로

간격이 같다는 조건이 둘 사이의 방정식 하나를 준다.

(5A+12B)-(3A+7B) = 2A+5B, (8A+15B)-(5A+12B) = 3A+3B

3STEP 3

A 와 B 의 관계 구하기

풀면 둘이 이어져 하나의 로그가 모든 것을 담는다.

2A+5B = 3A+3B → A = 2B ⟺ a = b²

4STEP 4

모든 항을 가중치로 바꾸기

모든 항이 그 로그 곱하기 단순한 가중치가 된다.

log(a^x b^y) = (2x+y)B: 13B, 22B, 31B,… (gap 9B)

5STEP 5

제12항 가중치까지 걸어가기

제12항 가중치까지 가면 112다.

w_k = 13 + 9(k-1) = 9k+4, w₁₂ = 13 + 9 · 11 = 112

6STEP 6

log b 를 정직하게 약분하기

정직하게 약분해도 112가 확인된다, 보기 (A).

nB = 112B → (n-112)B = 0; B ≠ 0 → n = 112

정답

112

a = b²를 만족하는 구체적인 쌍으로 확인하자. b = 10, a = 100으로 두면 log(a³ b⁷) = log(10⁶ * 10⁷) = 13, log(a⁵ b¹2) = log(10¹0 * 10¹2) = 22, log(a⁸ b¹5) = log(10¹6 * 10¹5) = 31이다. 13, 22, 31은 공차 9 인 등차수열이므로 가정이 실제로 실현 가능하다. 제12항은 13 + 11(9) = 112 = log(10¹12) = log(b¹12)이고, n = 112로 (D)와 일치한다. 오답 보기는 계산이 아니라 함정의 모양을 확인해 준다. 가중치는 9k + 4를 따르는데 40 = 9(4) + 4는 제4항이고 76 = 9(8) + 4는 제8항이므로, 보기 (A)와 (C)는 같은 수열을 잘못된 번호에서 읽은 값이다. 즉 9로 나눈 나머지를 보는 검산으로는 이들을 구별할 수 없고, 답을 정하는 것은 오직 첫째 항에서 간격 열한 개를 세는 일뿐이며 그것이 5단계가 한 일이다.

💡핵심 정리

log a 와 log b 에 이름을 붙이면, 무섭게 보이던 로그의 수열이 9씩 세어 나가는 평범한 셈이 된다.

두 로그에 이름 붙이기
등차 조건을 방정식 하나로
A 와 B 의 관계 구하기
모든 항을 가중치로 바꾸기
제12항 가중치까지 걸어가기
log b 를 정직하게 약분하기