AMC 10 · 2008 · #18
학년 10 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
각 꼭짓점이 얼마나 멀리 있는지는 문제에 없으므로, 그 세 거리에 이름을 붙이고 도형이 값을 결정하게 한다. 축들이 직각으로 만나므로 삼각형의 각 변은 이름 붙인 두 거리를 다리로 하는 직각삼각형의 빗변이 되고, 그림은 곧 세 개의 피타고라스 식으로 바뀐다. 이 식들은 거리 자체로 보면 어렵지만 거리의 제곱으로 보면 평범한 일차식이므로, 제곱을 미지수로 다시 읽는 것이 문제를 여는 열쇠다. 마지막으로 같은 직각 덕분에 한 모서리가 그대로 높이가 되어 부피 계산이 쉬워진다.
삼각형을 축 위에 놓기
각 변이 원점에서 직각삼각형이 된다.
원점의 모서리는 세 벽이 직각으로 만나는 방 안쪽 구석과 같다.
8.G.B.7Visualize Spatial Relationships피타고라스 식 세 개 쓰기
제곱을 미지수로 삼으면 연립식이 일차가 된다.
삼각형의 각 변은 좌표평면 하나를 가로지르므로 언제나 두 축 조각 위의 빗변이다.
삼각형의 각 변은 하나의 좌표평면을 가로지르므로, 축 위의 두 조각을 두 변으로 하는 빗변이다.
▸ 왜?
서로 수직인 두 모서리 덕분에 나머지 변 위의 정사각형이 두 정사각형을 더한 것과 같아진다.
▸ 왜?
세 변이 함께 각 축 조각을 정확히 두 번씩 담으므로, 세 식이 구석 전체를 설명한다.
제곱을 미지수로 삼기
셋을 모두 더하면 그 합이 한 번에 나온다.
홀로 나타나지 않는 제곱은 하나의 문자처럼 다룰 수 있고, 그러면 어려워 보이던 연립식이 덧셈과 뺄셈으로 바뀐다.
8.EE.C.8Organize Information In More Ways제곱을 하나씩 떼어내기
한 번씩 빼면 각 제곱이 떨어져 나온다.
전체와 한 쌍을 알면 남은 조각은 저절로 손에 들어온다.
9.A-REI.C.6Organize Information In More Ways이 사면체가 존재하는지 확인
셋 다 양수로 나와 사면체가 존재한다.
직각 모서리는 세 각이 모두 예각인 삼각형 위에서만 접어 세울 수 있다.
8.G.B.6Identify Subproblems이름 붙이는 순서는 상관없다
제곱들의 집합이 같으므로 이름 붙이는 순서는 상관없다.
이름을 바꿔 다는 것은 같은 세 수를 축들 사이에서 섞는 것일 뿐이고, 곱은 순서를 따지지 않는다.
9.A-CED.A.3Eliminate Possibilities직각 모서리를 높이로 쓰기
직각 모서리 덕분에 부피가 곱을 6으로 나눈 것이 된다.
직각 모서리에서는 세 번째 모서리가 이미 나머지 둘 위로 곧게 서 있으므로 높이를 따로 찾을 필요가 없다.
10.G-GMD.A.3Visualize Spatial Relationships하나의 근호 안에서 곱하기
하나의 근호 안에서 곱하면 √(95), 보기 (C).
근호는 곱셈에서 깔끔하게 합쳐지므로, 전부 한 근호 안에 두면 지저분한 소수를 피하고 숨어 있던 완전제곱수가 드러난다.
8.EE.A.2Introduce A Variable미지수가 언제나 제곱 꼴로만 나타난다면, 그 제곱을 미지수로 삼아라. 얽혀 있던 연립식이 단순한 덧셈과 뺄셈으로 바뀐다.
- 삼각형을 축 위에 놓기
- 피타고라스 식 세 개 쓰기
- 제곱을 미지수로 삼기
- 제곱을 하나씩 떼어내기
- 이 사면체가 존재하는지 확인
- 이름 붙이는 순서는 상관없다
- 직각 모서리를 높이로 쓰기
- 하나의 근호 안에서 곱하기
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