AMC 10 · 2008 · #25
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
끝이 주어지고 시작을 묻고 있으므로 도구 #11(거꾸로 풀기)이 방향을 정해 준다. 하지만 손으로 99번을 되돌리는 것은 불가능하므로, 실제 일은 도구 #15(다르게 정리하기)가 먼저 한다. a_n과 b_n을 따로 들고 다니지 말고 두 수를 하나의 복소수 a_n+b_ni로 묶는 것이다. 그러면 두 줄짜리 규칙이 곱셈 하나로 줄어들고, 99번의 단계가 거듭제곱 하나가 된다. 이어서 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 그 지수를 줄인다. (√(3)+i)⁹⁹에 정면으로 달려들지 말고 곱하는 수를 세제곱해 보면 8i로 깔끔해진다. 도구 #5(패턴 찾기)는 거기서 나오는 세 단계 주기를 이름 붙이지만, 여기서 그 주기는 표본 항들을 나열해 읽어낸 것이 아니라 그 한 번의 세제곱으로 증명된다. 이 차이가 중요하다. 처음 몇 항에서 눈에 띈 패턴은 백 번째 항에 대해서는 아무것도 보장하지 않기 때문이다.
두 수를 하나로 묶기
두 수를 묶으면 규칙이 곱셈이 된다.
두 좌표를 섞는 규칙은 그 좌표들을 수 하나에 태우고 나면 대개 곱셈 하나로 드러난다.
11.N-CN.A.1Organize Information In More Ways곱하는 수가 고정이면 식도 하나
곱하는 수가 고정이라 거듭제곱 하나짜리 일반항이 나온다.
매 단계 같은 수를 곱한다는 것은 n번째 항이 그 수의 거듭제곱이라는 뜻이다.
매 걸음 같은 수를 곱한다는 것은 n번째 항이 그 수의 거듭제곱이라는 뜻이다.
▸ 왜?
모든 항이 앞 항에 하나의 정해진 인수를 곱한 것이며, 그래서 등비가 된다.
▸ 왜?
지수는 그 인수를 몇 번 썼는지를 세므로, n 걸음은 그 인수의 n제곱이다.
곱하는 수를 세제곱하기
곱하는 수를 세제곱하면 아주 간단한 것이 나온다.
거대한 지수가 손댈 수 없어 보이면 작은 지수부터 해 보자. 지저분한 수가 두세 번 곱하면 깔끔해지는 일이 흔하다.
11.N-CN.A.2Solve An Easier Related Problem99를 세제곱 33개로 바꾸기
그러면 큰 거듭제곱이 하나의 항으로 접힌다.
99는 3의 배수이므로 깔끔한 세제곱을 끝까지 그대로 재사용할 수 있다.
8.EE.A.1Solve An Easier Related Problem시작점이 확정되는지 확인하기
곱하는 수가 0이 아니라 시작점이 확정된다.
0이 아닌 수를 곱하는 일은 항상 되돌릴 수 있으므로, 마지막 점은 정확히 하나의 첫 점을 기억한다.
11.F-BF.B.4Work Backwards나누고 좌표를 더하기
나누고 더하면 1/2⁹⁸, 보기 (D).
1/2⁹⁷은 1/2⁹⁸ 두 개이므로 하나를 빼면 하나가 남는다.
11.N-CN.A.3Work Backwards하나의 규칙이 두 수를 계속 섞고 있다면 그 둘을 수 하나로 묶어라. 그러면 백 단계가 되돌릴 수 있는 곱셈 하나가 된다.
- 두 수를 하나로 묶기
- 곱하는 수가 고정이면 식도 하나
- 곱하는 수를 세제곱하기
- 99를 세제곱 33개로 바꾸기
- 시작점이 확정되는지 확인하기
- 나누고 좌표를 더하기