AMC 10 · 2008 · #5
학년 7 number-theory fraction-arithmeticparitydivisibility-rules guess-and-checklogical-deduction ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 수의 두 분수로 만든 식이 정수가 된다. 그 수에 대해 반드시 참인 설명을 고르라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
It is negative.
(B)
It is even, but not necessarily a multiple of 3.
(C)
It is a multiple of 3, but not necessarily even.
(D)
It is a multiple of 6, but not necessarily a multiple of 12.
(E)
It is a multiple of 12.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
복잡해 보이는 식 안에 훨씬 간단한 식이 숨어 있다. 문제를 두 개의 작은 문제로 나눈다. 먼저 2x/3-x/6을 하나의 분수로 정리하고, 그 분수가 정수가 되려면 x에 무엇이 필요한지 묻는다. 조건이 분명해지면 값을 하나 넣어 보아 강제되지 않는 성질을 찾아내고, 지나치게 많은 것을 주장하는 보기를 지운다.
1STEP 1
하나의 분수로 합치기
합치고 약분하면 훨씬 작은 분모가 남는다.
2x/3-x/6=4x/6-x/6=3x/6=x/2
복잡한 식을 가장 간단한 꼴로 다시 쓰면 그 아래 숨은 진짜 질문이 드러난다.
7.EE.A.1Identify Subproblems2STEP 2
정수 조건 바꿔 말하기
그래서 조건은 그 수가 짝수라는 것뿐이다.
x/2inZ⇔ 2 ∣ x
분모가 2인 분수는 분자가 2의 배수일 때에만 정수가 된다.
분모가 2인 분수가 정수가 되는 것은 분자가 2의 배수일 때뿐이다.
▸ 왜?
나눗셈이 정수가 되는 것은 나머지가 남지 않을 때뿐이다.
나머지가 있는 나눗셈N을 크기 d의 묶음으로 나누면 N = q·d + r (0 ≤ r < d); r=0일 때만 N은 d의 배수다.
▸ 왜?
2로 나누어 나머지가 없는 것은 정확히 짝수뿐이며, 그 밖에는 없다.
짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.
3STEP 3
강제되지 않는 것 확인하기
작은 값을 넣어 보면 더 강한 것은 강제되지 않는다.
x=2: 2/2=1inZ, 2=2·1, 2 ≠ 3k
잘 고른 예 하나가 주장된 규칙이 사실은 필요 없음을 증명할 수 있다.
4.OA.B.4Guess And Check4STEP 4
지우고 결론 내리기
따라서 답은 짝수지만 3의 배수일 필요는 없다, 보기 (D).
x는 짝수, x가 반드시 3의 배수는 아님
모든 검증을 통과한 성질이 하나뿐이고 더 강한 것들이 실패하면, 살아남은 그 성질이 답이다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities정답
짝수이지만 반드시 3의 배수는 아니다.
양방향으로 확인한다. x가 짝수이면 x=2k 로 쓸 수 있고, 그러면 x/2=k 는 정수이므로 모든 짝수 x가 성립한다. x가 홀수이면 x/2는 .5로 끝나 결코 정수가 아니다. 따라서 허용되는 x는 정확히 짝수 전체이며, 이는 보기 (B)와 일치한다.
💡핵심 정리
복잡한 식을 먼저 정리하자. 2x/3 - x/6은 사실 그냥 x/2 라서, x는 짝수이기만 하면 된다.
- 하나의 분수로 합치기
- 정수 조건 바꿔 말하기
- 강제되지 않는 것 확인하기
- 지우고 결론 내리기