AMC 10 · 2008 · #8
학년 8 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
부피와 겉넓이를 직접 비교하는 일은 없습니다. 둘 다 모서리 길이에 대한 식일 뿐입니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 모서리 길이에 이름을 붙이면, 두 조건이 함께 말하고 있는 단 하나의 양이 드러납니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 풀이를 짧은 사슬로 나눕니다. 부피 1에서 첫 모서리를, 첫 모서리에서 겉넓이를, 두 배를 취해 목표 겉넓이를, 목표 겉넓이에서 두 번째 모서리를, 그리고 그 모서리에서 부피를 얻습니다. 선택지가 다섯 개의 구체적인 수이므로, 도구 #3(가능성 지우기)은 거꾸로 가는 확인 방법을 줍니다. 각 후보 부피를 겉넓이 조건에 넣어 보면, 사슬이 어떤 수를 내놓았다는 사실을 넘어 정답이 될 수 있는 수가 정확히 하나뿐임을 확인할 수 있습니다.
부피 1을 겉넓이로 바꾸기
첫 정육면체의 부피가 그 겉넓이를 준다.
정육면체는 똑같은 정사각형 여섯 장을 붙인 것이므로, 모서리가 1이면 겉넓이는 6입니다.
6.G.A.4Identify Subproblems두 번째 모서리 길이 구하기
두 배 하고 풀면 둘째 모서리가 나온다.
겉넓이가 두 배가 되면 두 배가 되는 것은 t 자신이 아니라 t²이므로, 모서리는 √(2)배만큼만 늘어납니다.
겉넓이를 두 배로 하면 한 변의 제곱이 두 배가 될 뿐 한 변이 두 배가 되지는 않으므로, 변은 루트 2배만 늘어난다.
▸ 왜?
넓이는 두 방향에 동시에 걸쳐 있으므로, 모든 길이를 늘리면 넓이에는 그 배율이 두 번 곱해진다.
▸ 왜?
제곱을 되돌리는 것은 제곱근을 취하는 것이므로, 변에는 루트 2가 한 번만 붙는다.
모서리를 세제곱해 부피 얻기
세제곱하면 2√(2)가 된다.
√(2) 세 개 중 두 개가 짝을 이뤄 2가 되고 하나가 남습니다.
8.EE.A.1Introduce A Variable모든 선택지를 조건에 넣어 확인하기
넓이와 부피의 직접적인 관계도 2√(2)를 확인해 준다, 보기 (C).
겉넓이를 세제곱하는 것과 부피를 제곱하는 것은 모두 모서리의 여섯 제곱을 세는 일이라, 둘은 하나의 고정된 수로 묶여 있습니다.
7.G.B.6Eliminate Possibilities겉넓이는 모서리의 제곱을, 부피는 모서리의 세제곱을 따라가므로, 겉넓이가 두 배가 되면 모서리는 √(2)배만 늘고 부피는 (√(2))³ = 2√(2)배가 됩니다.
- 부피 1을 겉넓이로 바꾸기
- 두 번째 모서리 길이 구하기
- 모서리를 세제곱해 부피 얻기
- 모든 선택지를 조건에 넣어 확인하기