AMC 10 · 2008 · #1
학년 4 counting interval-arithmeticsequences-arithmetic systematic-enumeration ↑ 선수 지식: mental-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
어떤 선수가 정확히 다섯 골을 넣고, 각 골은 2점 아니면 3점이다. 가능한 서로 다른 총점의 개수를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
2
(B)
3
(C)
4
(D)
5
(E)
6
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기
"서로 다른 수가 몇 가지인가"라는 표현은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)를 부르는 전형적인 신호다. 골이 5번뿐이라 경우의 수가 적으므로, 짐작하지 말고 모두 나열한다. 도구 #14(극단의 원리)는 목록의 양 끝을 고정한다. 모두 2점이면 최소, 모두 3점이면 최대다. 도구 #5(패턴 찾기)는 총점이 한 단계마다 정확히 1씩 오른다는 것을 보여 주므로, 그 사이 값이 빠지거나 겹치지 않는다.
1STEP 1
가능한 여섯 가지 나뉨을 나열하기
개수가 정해져 나뉨만 달라져 여섯 경우가 된다.
(3-pt, 2-pt) = (0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)
골 개수가 고정되어 있으니 선택할 것은 3점 골이 몇 개인지뿐이고, 그래서 0부터 5까지 빠짐없이 적는다.
4.OA.A.3Make A Systematic List2STEP 2
각 나뉨의 총점 더하기
한 번 바꿀 때마다 총점이 정확히 1씩 오른다.
10, 11, 12, 13, 14, 15
각 총점은 3점에서 나온 점수와 2점에서 나온 점수를 더한 것일 뿐이다.
3.OA.D.8Make A Systematic List3STEP 3
양 끝(극단) 확인하기
양 끝이 10부터 15까지를 감싼다.
min=5·2=10, max=5·3=15
모든 골을 가장 낮은 값으로 밀면 바닥이, 가장 높은 값으로 밀면 천장이 나온다.
4.OA.A.3Extreme Principle4STEP 4
서로 다른 총점 세기
겹치는 것이 없어 개수는 6, 보기 (E).
10,11,12,13,14,15 → 6 values → (E)
바꿀 때마다 정확히 1씩 늘어나므로 총점이 끊김 없이 이어지고, 세는 일은 10부터 15까지 세는 것과 같다.
한 번 바꿀 때마다 정확히 1점씩 오르므로, 총점은 빈틈 없이 이어지는 줄을 이룬다.
▸ 왜?
2점을 3점으로 바꾸면 매번 같은 간격만큼 총점이 달라진다.
일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
▸ 왜?
3점슛의 개수마다 저마다의 총점이 나오고 두 개수가 같은 총점을 주지 않으므로, 총점을 세는 것이 나눔을 세는 것이다.
일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
정답
6
총점은 10부터 15까지 빈틈 없이 이어지고, 10부터 15까지의 정수 개수는 15-10+1=6으로, 나열한 여섯 총점과 일치한다. 답 6은 골 개수에 1을 더한 값인데, 이는 자연스럽다. 3점 골이 몇 개인지에 대한 선택이 6가지(0부터 5까지)이고 각 선택이 서로 다른 총점을 주기 때문이다. 5 같은 작은 답은 양 끝 경우 중 하나를 빠뜨릴 때 나온다.
💡핵심 정리
바뀌는 것이 하나뿐일 때는 모든 경우를 순서대로 나열하자. 여기서는 총점이 10부터 15까지 1씩 올라가므로 6가지다.
- 가능한 여섯 가지 나뉨을 나열하기
- 각 나뉨의 총점 더하기
- 양 끝(극단) 확인하기
- 서로 다른 총점 세기