AMC 10 · 2008 · #10
학년 6 rate-ratio답을 골라 클릭하세요.
이 문제에는 서로 다른 두 단위가 숨어 있고, 그 충돌을 알아채는 것이 전부이므로 도구 #8(단위 살펴보기)이 앞장선다. 단독 속도는 완성에 걸리는 시간으로 주어지는데, 이는 일의 양을 굴뚝 단위로 재는 것이다 — 시간당 1/9 굴뚝, 1/10 굴뚝이며 굴뚝이 아무리 커도 이 수는 변하지 않는다. 반면 잡담 손실은 벽돌 단위로 주어진다 — 시간당 10개라는 평평한 개수이고, 이 역시 굴뚝의 크기를 신경 쓰지 않는다. 이 두 저울이 맞닿는 곳은 미지수 N뿐이고, 바로 그 유일한 접점이 N을 못박는다. 그 접점을 만드는 방법이 도구 #16(관점 바꾸기)이다: 둘이 해낸 일을 좇는 대신 잃어버린 일을 좇는다. 잃어버린 양이야말로 두 단위 모두로 잴 수 있는 유일한 값이기 때문이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 분수 계산을 차례대로 정리하고, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 구한 수를 원래 이야기에 되돌려 넣어 마무리한다 — N이 강제될 뿐 아니라 실제로 성립함까지 보이기 위해서다.
걸린 시간을 속도로 읽기
각자의 시간이 속도가 된다.
9시간에 일을 끝낸다는 말과 매시간 일의 1/9을 한다는 말은 같은 말이다.
6.RP.A.2Analyze The Units말없이 일했다면 얼마나 쌓였을까
속도의 합이라면 일 하나보다 많이 했을 것이다.
두 사람이 동시에 쌓으면 시간당 몫이 더해지므로, 그 합의 5시간분이 침묵이 만들어냈을 양이다.
5.NF.A.1Identify Subproblems넘친 만큼이 곧 잡담의 값
그 초과분이 느려짐이 잃게 한 만큼이다.
쌓은 벽돌을 세지 말고 쌓았어야 했는데 못 쌓은 벽돌을 세라 — 그 빈틈이 두 단위 모두가 부를 수 있는 유일한 값이다.
쌓은 벽돌을 세는 대신 쌓았어야 할 벽돌을 세라. 그 차이가 수다를 떤 대가다.
▸ 왜?
같은 일에 걸린 두 속도는 정해진 만큼 차이 나며, 그 차가 시간당 손실이다.
▸ 왜?
속도가 한결같으면 해낸 양은 속도 곱하기 시간이므로, 손실도 한 번의 곱셈이다.
같은 손실을 벽돌로 값 매기기
같은 손실을 실제 단위로 재면 50이다.
한 양을 두 가지 방법으로 재면 결과가 같아야 하고, 이 등식 하나에 문제 전체가 얹혀 있다.
6.RP.A.3Analyze The Units조각에서 전체로 키우기
조각에서 전체로 키우면 900이다.
똑같은 18조각 중 한 조각이 50이면 전체는 50의 18배다.
6.EE.B.7Identify Subproblems900이 정말 성립하는지 확인하기
앞으로 확인해도 900이 맞는다, 보기 (E).
수를 강제하는 일과 수를 확인하는 일은 서로 다른 일이므로 둘 다 해야 한다.
6.EE.B.5Guess And Check잃어버린 일을 두 번 재라 — 한 번은 굴뚝의 몇 분의 몇으로, 한 번은 벽돌 몇 개로. 그 두 값을 같다고 놓으면 굴뚝의 크기가 나온다.
- 걸린 시간을 속도로 읽기
- 말없이 일했다면 얼마나 쌓였을까
- 넘친 만큼이 곧 잡담의 값
- 같은 손실을 벽돌로 값 매기기
- 조각에서 전체로 키우기
- 900이 정말 성립하는지 확인하기