AMC 10 · 2008 · #12
학년 6 algebra mean-median-mode-rangedifference-of-squaresperfect-squares convert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
모든 개수에 대해, 그만큼의 항의 평균이 그 개수와 같다. 목록 한참 뒤의 어떤 항을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
2008
(B)
4015
(C)
4016
(D)
4030056
(E)
4032064
풀이 과정
전략 변수 도입하기
어떤 묶음의 평균은 전체 합을 개수로 나눈 값이다. 그래서 처음 n개 항의 합에 S_n이라는 이름을 붙인다. 그러면 평균 규칙이 S_n에 대한 깔끔한 식으로 바뀐다. 이제 하나의 항은 이웃한 두 합 사이의 차이일 뿐이므로, 문제를 계산하기 쉬운 작은 문제로 쪼갤 수 있다.
1STEP 1
평균을 합으로 바꾸기
각 평균이 깔끔한 누적 합이 된다.
S_n = (평균) × n = n × n = n²
n개의 수가 평균 n이면, 전체 합은 n을 n번 더한 값이어야 한다.
6.SP.B.5Introduce A Variable2STEP 2
한 항은 두 합의 차이
한 항은 그 두 합 사이의 차다.
a₂₀₀₈ = S₂₀₀₈ - S₂₀₀₇ = 2008² - 2007²
앞에 있던 모든 항의 합을 빼면, 새로 들어온 그 한 항만 남는다.
6.EE.B.6Identify Subproblems3STEP 3
제곱의 차를 인수분해하기
그 제곱의 차가 4015로 인수분해된다, 보기 (E).
2008² - 2007² = (2008-2007)(2008+2007) = 1 × 4015 = 4015
이웃한 두 제곱수 사이의 간격은 제곱하는 두 수를 더한 값과 같다.
이웃한 두 제곱수의 차는 제곱되기 전 두 수를 더한 것일 뿐이다.
▸ 왜?
두 제곱의 차는 두 수의 합에 두 수의 차를 곱한 것이며, 여기서 그 차는 1이다.
제곱의 차는 인수분해된다같은 두 수의 합과 차를 곱하면 가운데 항이 지워지고 첫 제곱에서 둘째 제곱을 뺀 것만 남는다.
▸ 왜?
n개의 수의 평균이 n이면 총합은 n을 n번 더한 것이어야 하며, 그래서 두 총합이 모두 제곱수가 된다.
평균은 합을 개수로 나눈 것산술평균은 합을 값의 개수로 균등하게 나눈 것: 평균 = 합 ÷ 개수 (따라서 합 = 평균 × 개수).
정답
4015
작은 경우로 패턴을 확인해 보자. S₁ = 1이므로 1번째 항은 1이다. S₂ = 4이므로 2번째 항은 4-1=3이다. S₃ = 9이므로 3번째 항은 9-4=5이다. 항들은 1, 3, 5, 7, …인 홀수들이고, n번째 홀수는 2n-1이다. n=2008이면 2(2008)-1 = 4015로 (B)와 일치한다.
💡핵심 정리
처음 n개 항의 평균이 항상 n이면 그 합은 n²이므로, 각 항은 이웃한 두 제곱수 사이의 간격이다.
- 평균을 합으로 바꾸기
- 한 항은 두 합의 차이
- 제곱의 차를 인수분해하기