AMC 10 · 2008 · #14

학년 11 algebrageometry-2d

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Multiplicative Rate or Series

logarithm-propertiescircle-circumference convert-to-algebraformula-substitution ↑ 선수 지식: exponentscircle-circumference

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 원의 반지름과 둘레가 각각 거듭제곱의 로그로 주어져 있다. 한 밑에 대한 다른 밑의 로그를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4\pi}$

(B)

$\frac{1}{\pi}$

(C)

$\pi$

(D)

$2\pi$

(E)

$10^{2\pi}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

로그가 복잡해 보이지만 log₁₀{a}와 log₁₀{b}는 그냥 두 개의 평범한 수일 뿐이다. 이 둘에 x와 y라는 이름을 붙인다. 그러면 로그의 지수 법칙에 의해 반지름은 2x, 둘레는 4y가 되고, 원의 관계식 C = 2π r은 x와 y에 대한 단순한 일차식이 된다. 구해야 하는 log_a{b}는 정확히 비 y/x이므로, x와 y 사이의 일차 관계가 바로 필요한 것이다. 나누기 전에 x가 0이 될 수 없음을 먼저 확인하고, 마지막에는 이런 원이 실제로 존재하는지도 확인한다.

1STEP 1

a와 b가 될 수 있는 값 좁히기

두 양이 양수여야 하므로 두 밑이 1보다 크다.

log₁₀{(a²)} ＞ 0, log₁₀{(b⁴)} ＞ 0, a ＞ 0, a ≠ 1 ⟹ a ＞ 1이고 b ＞ 1

2STEP 2

두 로그에 이름 붙이기

두 로그에 이름을 붙이면 각 양이 단순한 배수가 된다.

x = log₁₀{a}, y = log₁₀{b}, r = 2x, C = 4y

3STEP 3

원의 공식으로 두 식 잇기

원의 공식이 둘을 이어 준다.

C = 2π r ⟹ 4y = 2π(2x) = 4π x ⟹ y = π x

4STEP 4

구하는 것에서 거꾸로 출발하기

구하는 것에서 거꾸로 가면 바로 π가 나온다.

t = log_a{b} ⇔ a^t = b ⟹ t x = y ⟹ t = y/x = (π x)/x = π

5STEP 5

그런 원이 실제로 있는지 확인

그런 원이 실제로 존재한다.

a ＞ 1, b = a^π ⟹ r = 2log₁₀{a} ＞ 0, C = 4πlog₁₀{a} = 2π r ✓

6STEP 6

두 번째 방법: 둘레 나누기 지름

둘레 나누기 지름도 π를 확인해 준다, 보기 (E).

C/r = 4tlog₁₀{a}/2log₁₀{a} = 2t ⟹ log_a{b} = t = C/2r = C/d = π

정답

대수적인 방법과 구조적인 방법, 서로 다른 두 경로가 모두 π에 도달했고, 구체적인 쌍(a = 10, b = 10^π, r = 2, C = 4π)이 모든 조건을 만족한다. 지수를 바꿔 보는 검사도 통과한다. 둘레가 log₁₀{(b⁴)}가 아니라 log₁₀{(b²)}였다면 2y = 4π x가 되어 비는 2π가 된다. 이것이 바로 지수를 잘못 읽은 사람을 기다리는 함정 (D)이다. 함정 (B) 1/π는 나누는 방향을 뒤집었을 때 나오는 log_b{a}이다. 함정 (E) 10²π는 역로그의 모양을 하고 있지만, log_a{b} = log₁₀{b}/log₁₀{a}는 두 로그의 비이므로 10의 거듭제곱이 될 수 없다. 이 보기는 지수를 구하는 대신 b 자체를 구한 사람을 잡는다.

💡핵심 정리

로그를 그냥 수로 이름 붙이고 원의 공식 C = 2π r을 쓰면, 알 수 없어 보이던 비 log_a{b}가 둘레를 지름으로 나눈 값, 곧 π임이 드러난다.

a와 b가 될 수 있는 값 좁히기
두 로그에 이름 붙이기
원의 공식으로 두 식 잇기
구하는 것에서 거꾸로 출발하기
그런 원이 실제로 있는지 확인
두 번째 방법: 둘레 나누기 지름