AMC 10 · 2008 · #16
학년 7 geometry-2dnumber-theory simons-favorite-factoring-trickarea-rectangleslinear-diophantine convert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-rectangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
변이 정수인 직사각형 바닥에 폭 1의 테두리를 칠하지 않고 남긴다. 그 테두리가 바닥 넓이의 정확히 절반이다. 가능한 변의 길이 쌍의 개수를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
(E)
5
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기
말 속에 깔끔한 방정식이 숨어 있다. 간단히 그림을 그려 보면 폭 1피트의 테두리가 가로에서 2피트, 세로에서 2피트를 깎아내므로 색칠한 직사각형은 (a-2) 곱하기 (b-2)이다. '넓이의 절반' 조건은 a와 b에 대한 방정식이 되고, 정리해서 인수분해하면 두 정수의 곱이 8인 식으로 바뀐다. 유효한 쌍을 세는 일은 8의 인수쌍을 나열하고 b ＞ a인 것만 남기는 것이다.
1STEP 1
테두리를 그리고 안쪽 직사각형 크기 구하기
테두리가 각 치수에서 2를 뺀다.
color rectangle = (a-2)×(b-2)
폭 1의 테두리가 마주 보는 두 변에 있으면 그 방향 길이 전체에서 2가 깎인다.
마주 보는 양쪽에 폭 1의 테두리를 두르면 그 방향에서 2가 줄어든다.
▸ 왜?
바닥은 테두리와 칠한 가운데를 합친 것이므로, 가운데는 전체에서 테두리를 뺀 것이다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
▸ 왜?
양 끝에서 같은 폭이 빠지므로, 양쪽이 똑같이 줄어들고 모양은 직사각형으로 남는다.
둘을 같이 옮기면 차는 그대로두 점을 수직선에서 같은 거리만큼 밀면 둘 사이의 간격은 결코 변하지 않는다.
2STEP 2
'넓이의 절반'을 방정식으로 바꾸기
넓이의 절반이 방정식 하나가 된다.
(a-2)(b-2) = 1/2ab → 2(a-2)(b-2) = ab
테두리가 정확히 절반이면 색칠한 부분도 나머지 절반이므로 두 넓이가 같아야 한다.
7.EE.B.4Convert To Algebra3STEP 3
전개한 뒤 +16 기법으로 인수분해하기
상수를 더하면 두 괄호로 인수분해된다.
2ab-4a-4b+8 = ab → ab-4a-4b+8 = 0 → ab-4a-4b+16 = 8 → (a-4)(b-4) = 8
알맞은 상수를 더하면 다루기 어려운 두 변수 식이 하나의 깔끔한 곱으로 접힌다.
7.EE.A.1Convert To Algebra4STEP 4
인수쌍을 나열하고 b ＞ a만 남기기
인수쌍을 나열하고 순서를 지키면 2, 보기 (B).
(a-4)(b-4)=8: (1,8)→(a,b)=(5,12), (2,4)→(a,b)=(6,8)
8을 두 자연수의 곱으로 나누는 모든 방법이 후보 바닥 하나이고, b ＞ a 규칙이 좌우가 뒤바뀐 쌍을 걸러낸다.
4.OA.B.4Make A Systematic List정답
2
두 바닥을 조건에 맞춰 확인한다. (5, 12): 전체 넓이는 60, 색칠한 직사각형은 3 곱하기 10 = 30으로 정확히 절반이고 테두리도 30이다 - 맞다. (6, 8): 전체 넓이는 48, 색칠한 직사각형은 4 곱하기 6 = 24로 정확히 절반이다 - 맞다. 더 있을까? 8의 양의 인수쌍은 {1, 8}과 {2, 4}뿐이고, 그 역순은 b ＜ a가 되어 제외되며 음의 쌍은 불가능한 바닥 크기를 준다. 따라서 정확히 2쌍만 남아 선택지 (B)와 일치하고 1, 3, 4, 5는 배제된다.
💡핵심 정리
폭 1피트의 테두리는 각 변을 2씩 줄인다. 넓이 절반 규칙을 방정식으로 쓰고, 깔끔한 곱으로 다듬은 뒤, 인수쌍의 개수를 세면 된다.
- 테두리를 그리고 안쪽 직사각형 크기 구하기
- '넓이의 절반'을 방정식으로 바꾸기
- 전개한 뒤 +16 기법으로 인수분해하기
- 인수쌍을 나열하고 b ＞ a만 남기기