AMC 10 · 2008 · #18
학년 10 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
부피 공식에서 주어지지 않은 값은 높이 h 하나뿐이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (가) 주어진 각 넓이를 길이로 바꾸기, (나) 그 길이들로부터 h 를 복원하기의 두 단계로 나눈다. 복원은 도구 #13(대수로 바꾸기)이 맡는다. 정사각형에 좌표를 놓고 꼭짓점을 (p, q, h) 라 두면 각 삼각형의 높이는 E 에서 직선까지의 거리로 쓰이고, 세 좌표 중 하나는 그 식에서 아예 사라져 q 와 h 에 대한 두 식만 남는다. 도구 #17(공간 상상하기)이 이 대수를 안전하게 만든다. 사라진 좌표 p 는 무엇이든 될 수 있으므로 E 가 어디에 걸려 있는지 가정하면 안 되고, 실제로 끝까지 가정하지 않는다. 도구 #1(그림 그리기)은 두 직각삼각형이 보이도록 그림을 만들어 준다.
밑면에서 변의 길이 읽어내기
밑면 넓이가 변의 길이와 마주 보는 변 사이 간격을 준다.
정사각형의 변은 넓이의 제곱근이고, 마주 보는 두 변은 딱 한 변 길이만큼 떨어져 있다.
8.EE.A.2Convert To Algebra넓이를 직선까지의 거리로 바꾸기
각 면의 넓이가 꼭짓점에서 밑변까지의 거리가 된다.
밑변 길이를 고정하면 넓이는 꼭짓점에서 그 밑변의 직선까지의 거리 하나로 바뀐다.
6.G.A.1Identify Subproblems좌표가 어떤 값이 중요한지 보여 준다
좌표가 두 수만 중요함을 보여 준다.
직선까지의 거리는 그 직선 방향의 이동을 무시하므로, 꼭짓점의 좌표 하나는 아예 쓸모가 없다.
8.G.B.8Convert To Algebra두 식을 빼기
두 식을 빼면 높이가 나온다.
두 식이 똑같은 h²을 품고 있으므로, 빼기 한 번으로 어려운 연립이 일차방정식 하나가 된다.
두 식이 같은 높이의 제곱을 지니므로, 빼면 어려운 연립이 직선 하나로 바뀐다.
▸ 왜?
같은 조각을 지닌 두 양을 빼면 그 조각이 통째로 사라진다.
▸ 왜?
각 빗변은 높이 위에 세운 직각삼각형의 빗변이며, 공통된 제곱은 거기서 온다.
그런 각뿔이 실제로 존재함을 보이기
구체적인 꼭짓점이 그 각뿔이 실제로 존재함을 보인다.
세 넓이를 모두 맞히는 꼭짓점을 하나 실제로 만들면, 필요조건이던 값이 진짜 각뿔이 된다.
8.G.B.7Visualize Spatial Relationships각뿔 부피 공식 적용하기
부피 공식이 784를 준다, 보기 (E).
부피는 꼭짓점의 수직 높이만 보므로, 기울어진 각뿔도 똑바로 선 각뿔과 같은 값이 나온다.
10.G-GMD.A.3Identify Subproblems각 삼각형의 넓이는 꼭대기가 한 변의 직선에서 얼마나 떨어져 있는지를 알려 준다. 그 두 거리와 두 변 사이의 14가 꼭대기의 높이를 12로 못 박고, 196 × 12의 1/3이 부피다.
- 밑면에서 변의 길이 읽어내기
- 넓이를 직선까지의 거리로 바꾸기
- 좌표가 어떤 값이 중요한지 보여 준다
- 두 식을 빼기
- 그런 각뿔이 실제로 존재함을 보이기
- 각뿔 부피 공식 적용하기
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