AMC 10 · 2008 · #2
학년 2 arithmetic symmetry-argumentmulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: mental-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
사 곱하기 사 수 블록에서 두 행의 좌우 순서를 뒤집는다. 두 대각선 합의 차를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
2
(B)
4
(C)
6
(D)
8
(E)
10
풀이 과정
전략 그림 그리기
이 문제의 어려움은 두 줄이 뒤집힌 뒤 어떤 숫자가 어느 칸에 있는지 추적하는 데 있습니다. 그래서 도구 #1(그림 그리기)로 둘째·넷째 줄을 뒤집은 블록을 직접 다시 그리면, 대각선에서 엉뚱한 숫자를 집을 가능성이 사라집니다. 새 블록을 그린 뒤에는 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 세 개의 작고 독립적인 계산으로 나눕니다: 한 대각선 더하기, 다른 대각선 더하기, 빼기.
1STEP 1
뒤집은 뒤 블록 다시 그리기
블록을 다시 그리면 두 대각선을 읽을 수 있다.
1&2&3&4 ; 11&10&9&8 ; 15&16&17&18 ; 25&24&23&22
뒤집은 뒤 모습 그대로 판을 그려서, 기억한 숫자가 아니라 실제 숫자를 읽습니다.
2.NBT.B.6Draw A Diagram2STEP 2
주 대각선 더하기
한 대각선의 합은 50이다.
1+10+17+22=50
한 줄 내려갈 때마다 한 칸씩 오른쪽으로 옮기며 대각선을 따라 내려갑니다.
2.NBT.B.6Identify Subproblems3STEP 3
다른 대각선 더하기
다른 쪽은 54다.
4+9+16+25=54
이 대각선은 오른쪽 위 모서리에서 시작해 한 줄마다 한 칸씩 왼쪽으로 내려갑니다.
2.NBT.B.6Identify Subproblems4STEP 4
양의 차 구하기
양의 차는 4, 보기 (B).
54-50=4 → (B)
양의 차란 그저 큰 합에서 작은 합을 빼는 것입니다.
양의 차는 큰 대각선 합에서 작은 대각선 합을 뺀 것이다.
▸ 왜?
각 대각선 합은 그 위의 수를 더한 것이므로, 둘 다 보통의 합이다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
▸ 왜?
두 합을 견주면 어느 쪽이 큰지 정해지고, 그 순서만이 어느 쪽에서 빼야 하는지를 정한다.
부등호의 추이성첫째가 둘째보다 크고 둘째가 셋째보다 크면 첫째는 셋째보다 크다.
정답
4
뒤집기 전에도 이 달력 블록의 두 대각선은 이미 같은 값 52로 더해집니다(주 대각선 1+9+17+25=52, 반대 대각선 4+10+16+22=52). 그러므로 차이는 오직 뒤집기가 실제로 옮긴 칸에서만 생깁니다. 주 대각선에서 옮겨진 칸은 9→10(+1)과 25→22(-3)로 순변화 -2 라서 50이 됩니다. 다른 대각선에서는 10→9(-1)와 22→25(+3)로 순변화 +2 라서 54가 됩니다. -2와 +2의 어긋남은 정확히 4의 간격을 만들어 (B)와 일치하며, 모든 선택지가 그렇듯 답도 작은 짝수입니다.
💡핵심 정리
숫자가 격자 안에서 움직이면, 먼저 격자를 다시 그린 다음 기억이 아니라 새 그림에서 대각선을 읽으세요.
- 뒤집은 뒤 블록 다시 그리기
- 주 대각선 더하기
- 다른 대각선 더하기
- 양의 차 구하기