AMC 10 · 2008 · #21

학년 10 probabilitygeometry-2d

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilitytangent-circlescoordinate-geometrycomplementary-counting complementary-countingcoordinate-geometry ↑ 선수 지식: probability-basiccoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

같은 크기의 두 원의 중심을 평행한 두 선분에서 균등하게 무작위로 고른다. 두 원이 적어도 한 점을 공유할 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac {2 + \sqrt {2}}{4}$

(B)

$\frac {3\sqrt {3} + 2}{8}$

(C)

$\frac {2 \sqrt {2} - 1}{2}$

(D)

$\frac {2 + \sqrt {3}}{4}$

(E)

$\frac {4 \sqrt {3} - 3}{4}$

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #4(변수 도입하기)로 그림을 두 수 a, b로 줄인다. 자유로운 것은 가로 위치뿐이기 때문이다. 도구 #14(극단의 원리)로 진짜 질문을 해결한다. 두 중심이 얼마나 멀어질 때까지 원이 서로 닿을 수 있는가? 접하는 위치가 경계이며, 그 경계를 넘을 수 없다는 것뿐 아니라 경계까지 실제로 닿는다는 것도 보여야 한다. 도구 #1(그림 그리기)이 계산의 엔진이다. 순서쌍 (a,b)를 2 × 2 정사각형 위의 한 점으로 그리면 사건은 영역이 되고 확률은 넓이가 된다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 넓이를 간단하게 만든다. 성립하는 영역은 비스듬한 띠라 다루기 번거롭지만, 실패하는 영역은 작은 구석 삼각형 두 개뿐이다. 도구 #3(가능성 지우기)로 소수 값을 계산해 선택지와 대조하며 마무리한다. 같은 그림에서 나오는 오답 하나와 확실히 갈라진다.

1STEP 1

그림을 두 수로 줄이기

두 수만 변하므로 그림이 접힌다.

A = (a,0), B = (b,1), a, b ∼ Uniform[0,2] (독립)

2STEP 2

"만난다"의 뜻을 정확히 못 박기

만난다는 것은 중심 거리가 충분히 작다는 뜻이고 다른 경우는 일어날 수 없다.

P 가 두 원 위 ⇔ |PA| = |PB| = 1; h = √(1 - d²/4) 가 실수 ⇔ d ≤ 2

3STEP 3

판정 조건을 a, b의 식으로 바꾸기

그것이 두 위치에 관한 부등식 하나가 된다.

d² = (a-b)² + 1 ≤ 4 ⇔ |a-b| ≤ √(3), d ≥ 1 ＞ 0 (항상)

4STEP 4

표본공간을 정사각형으로 그리기

표본공간이 정사각형이라 확률은 넓이다.

Pr(사건) = ({(a,b) ∈ [0,2]² : |a-b| ≤ √(3)} 의 넓이)/4

5STEP 5

실패하는 영역으로 관점 바꾸기

실패하는 영역이 재기 훨씬 쉽다.

Pr(만남) = 1 - Pr(a - b ＞ √(3)) - Pr(b - a ＞ √(3))

6STEP 6

구석 삼각형 두 개 재기

그것은 구석의 삼각형 둘이다.

2 · ((2-√(3))²)/2 = (2-√(3))² = 4 - 4√(3) + 3 = 7 - 4√(3)

7STEP 7

정사각형 전체에서 빼기

정사각형 전체에서 빼면 (4√(3)-3)/4이다.

1 - (7 - 4√(3))/4 = (4 - 7 + 4√(3))/4 = (4√(3) - 3)/4

8STEP 8

값을 선택지와 대조하기

보기와 비교하면 (4√(3)-3)/4이 확인된다, 보기 (E).

(4√(3)-3)/4 ≈ 0.982 → (E)

정답

(4 √(3) - 3)/4

값 ≈ 0.982는 0과 1 사이이고 1에 가까워야 한다. 두 원이 어긋나려면 두 x값이 √(3) ≈ 1.732보다 더 벌어져야 하는데, 그러려면 하나는 한쪽 끝에서 0.268 이내, 다른 하나는 반대쪽 끝에서 0.268 이내에 있어야 한다. 드문 조합이고 (0.268)²/4 ≈ 0.018이 바로 위에서 구한 실패 확률이다. 두 극단으로도 설정을 확인할 수 있다. 두 중심선이 같은 직선이면(세로 간격 0) 조건은 |a-b| ≤ 2가 되어 항상 참이므로 확률은 1이고, 간격이 2면 조건이 |a-b| ≤ 0이 되어 확률은 0이다. 간격이 1일 때 0.982가 나오는 것은 그 사이에 알맞게 놓인다. 함정 선택지는 (D) (2+√(3))/4 ≈ 0.933으로, 삼각형의 변 길이를 제곱하지 않고 그대로 넓이로 써서 1 - (2-√(3))/4를 계산했을 때 나오는 값이다. 견고성 하나 더. "원"을 곡선이 아니라 원판으로 읽어도 달라지는 것은 한쪽이 다른 쪽 안에 들어가는 경우뿐인데 그것은 d ＜ |r_A - r_B| = 0을 요구하므로 여기서는 불가능하다. 따라서 어느 해석에서도 답은 (4√(3)-3)/4이다.

💡핵심 정리

크기가 같은 두 원은 중심 사이 거리가 반지름 두 개를 넘지 않을 때 정확히 서로 닿는다. 그래서 이 문제는 결국 "[0,2]에서 두 수를 고를 때 그 차이가 √(3) 이하일 확률은?"이 되고, 그것은 정사각형 안의 넓이일 뿐이다.

그림을 두 수로 줄이기
"만난다"의 뜻을 정확히 못 박기
판정 조건을 a, b의 식으로 바꾸기
표본공간을 정사각형으로 그리기
실패하는 영역으로 관점 바꾸기
구석 삼각형 두 개 재기
정사각형 전체에서 빼기
값을 선택지와 대조하기