AMC 10 · 2008 · #23

학년 11 number-theoryalgebra

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

logarithm-propertiesdivisor-countprime-factorizationpair-counting convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: logarithm-propertiesprime-factorization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

10의 어떤 거듭제곱의 모든 약수에 로그를 취해 전부 더한다. 그 합이 주어져 있다. 지수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

로그 하나하나가 무리수라서 이 합은 첫 수를 잡기 어렵다. 해결책은 약수를 수의 나열로 보지 말고 지수쌍 (a,b)의 정사각 격자로 보는 것이다. 2ⁿ 5ⁿ의 모든 약수는 2^a 5^b 꼴이기 때문이다. 합을 그 격자 위의 합으로 바꾸면 로그 법칙이 그것을 두 상수 log₁₀ 2와 log₁₀ 5에 붙은 지수들의 합으로 바꿔 주는데, 이는 결국 같은 단순한 합 0+1+…+n 두 벌일 뿐이다. 그다음 2 · 5 = 10이므로 두 상수가 1로 합쳐지고 무리수 조각이 한꺼번에 사라진다. 남는 것은 n에 대한 방정식 하나이고, 이것은 다섯 보기를 대입하는 대신 정수 범위에서 가능성을 지워 끝낸다.

1STEP 1

약수를 지수로 이름 붙이기

모든 약수가 두 지수로 이름 붙는다.

10ⁿ = 2ⁿ 5ⁿ, d ∣ 10ⁿ ⇔ d = 2^a 5^b with 0 ≤ a ≤ n, 0 ≤ b ≤ n

2STEP 2

약수의 개수 세기

그것을 세면 완전제곱수가 나온다.

τ(10ⁿ) = (n+1)(n+1) = (n+1)²

3STEP 3

로그를 지수로 바꾸기

각 로그가 가중합으로 나뉜다.

log₁₀ d = log₁₀(2^a 5^b) = a log₁₀ 2 + b log₁₀ 5

4STEP 4

격자 전체에 걸쳐 더하기

격자 전체를 더하면 식 하나가 나온다.

S(n) = Σ_a=0ⁿ Σ_b=0ⁿ (a log₁₀ 2 + b log₁₀ 5) = (n(n+1)²)/2 log₁₀ 2 + (n(n+1)²)/2 log₁₀ 5

5STEP 5

두 상수를 하나로 합치기

두 로그의 합이 1이라 사라진다.

S(n) = (n(n+1)²)/2(log₁₀ 2 + log₁₀ 5) = (n(n+1)²)/2 · 1 = (n(n+1)²)/2

6STEP 6

추측 없이 n 구하기

합을 인수분해하면 11, 보기 (B).

(n(n+1)²)/2 = 792 ⇔ n(n+1)² = 1584 = 2⁴ · 3² · 11, 11 · 12² = 11 · 144 = 1584

정답

n = 11을 거꾸로가 아니라 정방향으로 확인해 보자. 10¹¹의 약수는 12² = 144개이고, 각 약수 d를 10¹¹/d와 짝지으면 로그들이 중점 11/2을 기준으로 대칭으로 퍼져 있음을 알 수 있다. 따라서 로그의 평균은 5.5이고 합은 144 × 5.5 = 792로 요구와 정확히 맞는다. 이 공식은 다섯 보기도 깔끔하게 갈라놓는다. S(11) = 792, S(12) = 1014, S(13) = 1274, S(14) = 1575, S(15) = 1920이므로 다른 보기는 근처에도 오지 못하고, n ≥ 1에서 n(n+1)²이 순증가하므로 목록 밖의 n도 792를 만들 수 없다. 대략적인 크기 확인도 들어맞는다. 144개의 로그는 log₁₀ 1 = 0부터 log₁₀ 10¹¹ = 11까지 걸쳐 있으므로 합은 0과 144 × 11 = 1584 사이에 있어야 하는데, 792는 바로 그 구간의 한가운데다. 완벽한 대칭이 예측하는 값이 정확히 이것이다.

💡핵심 정리

10ⁿ의 약수들은 곱해서 10ⁿ이 되는 짝을 이루므로 로그의 평균이 n/2이고, 전체 합은 약수의 개수에 n/2을 곱한 값일 뿐이다.

약수를 지수로 이름 붙이기
약수의 개수 세기
로그를 지수로 바꾸기
격자 전체에 걸쳐 더하기
두 상수를 하나로 합치기
추측 없이 n 구하기