AMC 10 · 2008 · #3
학년 5 arithmetic optimization extremal-construction ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
한 팀의 선수들이 각각 정해진 최소액 이상을 받고, 전체 급여에 상한이 있다. 한 선수가 받을 수 있는 최대 금액을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
270,000
(B)
385,000
(C)
400,000
(D)
430,000
(E)
700,000
풀이 과정
전략 극단의 원리
700,000라는 한도를 선수 21명이 나눠 씁니다. 한 선수에게 최대한 많이 주려면, 나머지 선수들은 규칙이 허락하는 가장 작은 금액까지 낮춰야 합니다. 나머지 20명이 최소 금액에 도달하면, 한도에서 남는 돈이 모두 마지막 선수의 몫이 됩니다.
1STEP 1
나머지 선수를 최소로 낮추기
한 몫은 상한에서 나머지 전부를 뺀 것이다.
one player = 700,000 - (salaries of the other 20)
합이 고정되어 있으면, 다른 몫들이 한계까지 줄어들 때 한 몫이 가장 커집니다.
총액이 정해져 있을 때, 한 부분이 가장 커지는 것은 나머지 모든 부분이 한계까지 줄어들 때다.
▸ 왜?
부분의 합이 전체이므로, 나머지가 가져가지 않은 것이 곧 한 사람에게 남는 몫이다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
▸ 왜?
한 부분이 내놓는 만큼 다른 부분이 얻으므로, 총액은 움직이지 않고 나뉜 방식만 달라진다.
한쪽이 얻은 만큼 다른 쪽이 잃는다한 덧수에서 다른 덧수로 얼마를 옮겨도 합은 꿈쩍하지 않으므로, 한 수를 편한 수로 만드는 것은 공짜다.
2STEP 2
나머지 20명의 비용
나머지를 바닥으로 내리면 300,000이 든다.
20 × 15,000 = 300,000
15,000짜리 묶음 20개는 곱셈으로 빠르게 계산한 반복 덧셈일 뿐입니다.
5.NBT.B.5Analyze The Units3STEP 3
남는 돈이 한 선수의 몫
남는 것은 400,000, 보기 (E).
700,000 - 300,000 = 400,000
다른 선수를 모두 채우고 남은 예산이 바로 한 선수가 가져갈 수 있는 금액입니다.
4.NBT.B.4Convert To Algebra정답
400,000
합을 확인합니다. 한 선수 400,000에 20명의 15,000를 더하면 400,000 + 300,000 = 700,000으로, 한도와 정확히 같고 넘지 않습니다. 모든 연봉이 15,000 이상이므로 규칙을 모두 지킵니다. 보기 (E) 700,000는 나머지 20명에게 줄 돈이 하나도 남지 않아 각자 15,000가 필요한 조건을 어기므로 틀립니다.
💡핵심 정리
합에 한도가 있을 때, 다른 몫을 모두 최소로 줄이면 한 몫을 가장 크게 만들 수 있습니다.
- 나머지 선수를 최소로 낮추기
- 나머지 20명의 비용
- 남는 돈이 한 선수의 몫