AMC 10 · 2008 · #5
학년 6 counting linear-diophantineparitydivisibility-rules bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: linear-equations-two-var
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
정해진 금액을 값이 정해진 두 종류의 꽃에 정확히 다 써야 한다. 정확히 다 쓰는 조합의 개수를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
1
(B)
7
(C)
9
(D)
16
(E)
17
풀이 과정
전략 변수 도입하기
도구 #4(변수 도입하기)는 돈에 관한 이야기를 하나의 깔끔한 식 3r+2c=50으로 바꿔, 무엇이 참이어야 하는지를 정확히 못박습니다. 그런데도 경우의 수가 여전히 무한해 보이므로, 도구 #3(가능성 지우기)으로 홀짝 성질을 이용해 홀수 개의 장미를 한꺼번에 버립니다. 도구 #14(극단의 원리)로 여전히 여유가 남는 최대 장미 수를 찾아 범위를 정하고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 살아남은 경우를 순서대로 훑어 빠뜨리거나 중복해서 세지 않게 합니다.
1STEP 1
돈을 식으로 바꾸기
지출이 두 개수에 관한 방정식 하나가 된다.
3r+2c=50, r ≥ 0, c ≥ 0
두 개수에 이름을 붙이면 막연한 쇼핑 질문이 검증할 수 있는 하나의 정확한 식으로 바뀝니다.
6.EE.B.6Introduce A Variable2STEP 2
장미는 짝수 송이만 가능
홀짝이 한 개수를 짝수로 만든다.
50-2c=3r→ 3r 짝수→ r 짝수
짝수 총액에서 짝수인 카네이션 값을 빼면 짝수가 남고, 홀수 가격의 장미는 짝수 크기의 묶음일 때만 그 짝수에 딱 맞습니다.
짝수인 총액에서 짝수인 카네이션 값을 빼면 짝수가 남고, 값이 홀수인 장미는 짝수 다발로만 그 금액에 닿는다.
▸ 왜?
홀수인 값을 홀수 번 되풀이하면 총액이 홀수가 되어, 짝수와 맞을 수 없다.
짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.
▸ 왜?
쓴 돈은 정확히 다 떨어져야 하므로, 끝에 남는 것이 있어서는 안 된다.
나머지가 있는 나눗셈N을 크기 d의 묶음으로 나누면 N = q·d + r (0 ≤ r < d); r=0일 때만 N은 d의 배수다.
3STEP 3
들어갈 수 있는 최대 장미 수 찾기
예산이 그것을 16으로 제한한다.
3r ≤ 50→ r ≤ 16 (짝수); 3×16=48, 3×18=54
장미 수를 한계까지 밀어붙여 돈이 바닥나는 지점을 찾습니다.
6.EE.B.5Extreme Principle4STEP 4
살아남은 경우를 나열하고 세기
남은 것을 나열하면 9, 보기 (C).
r=0,2,4,6,8,10,12,14,16→ 9 가지→(C)
허용되는 장미 수를 순서대로 훑어 모든 조합을 정확히 한 번씩 잡습니다.
4.OA.C.5Make A Systematic List정답
9
0부터 16 까지의 짝수 장미 수는 0,2,4,6,8,10,12,14,16이고, 이는 (16-0)/2+1=9 개로 직접 나열한 것과 일치합니다. 카네이션 총수 25,22,19,16,13,10,7,4,1은 r 이 2 씩 오를 때마다 3 씩 내려갑니다(장미가 두 송이 늘면 6 달러가 더 들고, 이는 카네이션 세 송이가 줄어드는 것이기 때문입니다). 모두 정수이고 음수가 아니므로 잘못 넣거나 뺀 조합은 없습니다. 답 9는 선택지 (C)입니다. 이는 너무 적은 1과, 홀수 장미까지 잘못 세는 17 사이에 알맞게 놓입니다.
💡핵심 정리
지출을 하나의 식으로 바꾸고, 홀짝을 이용해 절반의 경우를 지운 다음, 나머지를 순서대로 나열해 세세요.
- 돈을 식으로 바꾸기
- 장미는 짝수 송이만 가능
- 들어갈 수 있는 최대 장미 수 찾기
- 살아남은 경우를 나열하고 세기