AMC 10 · 2008 · #7
학년 7 algebra function-evaluationsymmetry-argument convert-to-algebra ↑ 선수 지식: exponents
📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
새 연산이 두 입력을 빼고 그 결과를 제곱한다. 같은 두 수의 차의 제곱을 두 입력으로 넣었을 때의 값을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
0
(B)
$x^2 + y^2$
(C)
$2x^2$
(D)
$2y^2$
(E)
4xy
풀이 과정
전략 변수 도입하기
두 입력 (x-y)²와 (y-x)² 자체가 제곱이라 식이 복잡해 보인다. 도구 #4(변수 도입하기)로 이를 다스린다. 왼쪽 입력을 a, 오른쪽 입력을 b 라 이름 붙이면 전체가 깔끔한 a * b=(a-b)²로 바뀐다. 그러면 핵심이 드러난다 — a 와 b 는 사실 같은 수이므로 그 차 a-b 는 0이다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 구체적인 수를 넣어 결과를 확인하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 차가 0이 되는 순간 x 나 y 가 남은 나머지 선택지가 모두 틀린 이유를 설명한다.
1STEP 1
별표 규칙 해석하기
입력에 이름을 붙이면 규칙을 읽을 수 있다.
a=(x-y)², b=(y-x)², a * b=(a-b)²
복잡한 입력에 짧은 이름을 붙이면 문제가 간단한 규칙 (a-b)²로 바뀐다.
6.EE.A.2Introduce A Variable2STEP 2
두 입력은 서로 같다
제곱이 부호를 지워 두 입력이 같다.
y-x=-(x-y) → (y-x)²=(x-y)² → a=b
뺄셈을 뒤집으면 부호만 바뀌고, 제곱하면 그 부호는 버려진다.
뺄셈을 뒤집으면 부호만 바뀌는데, 제곱이 그 부호를 버린다.
▸ 왜?
제곱은 같은 인수를 두 번 쓰므로, 마이너스 부호 둘이 만나 서로 지워진다.
거듭제곱은 반복 곱셈b^n은 밑 b를 n번 곱한 것이며, 1보다 큰 밑의 거듭제곱은 값이 엄격히 커진다.
▸ 왜?
부호를 짝수 번 뒤집으면 수가 무엇이든 언제나 플러스로 돌아온다.
짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.
3STEP 3
실제 수로 확인하기
작은 수로 시험하면 확인된다.
(2-1)²=1, (1-2)²=1, 1 * 1=(1-1)²=0
구체적인 수를 넣어 보면 추상적인 상등이 눈으로 보이게 된다.
6.EE.A.2Guess And Check4STEP 4
같은 입력을 빼서 제곱하기
같은 입력을 빼면 0, 보기 (A).
a * b=(a-b)²=(a-a)²=0²=0 → (A)
어떤 수에서 자기 자신을 빼면 언제나 0이고, 0을 제곱해도 여전히 0이다.
6.EE.A.1Introduce A Variable정답
0
결과 전체는 하나의 사실에 놓여 있다: 두 입력 (x-y)²와 (y-x)²는 똑같으므로 그 차는 0이고 제곱하면 0이다. x=2, y=1로 한 수치 확인이 0을 주었고, 두 번째 확인 — 예를 들어 x=5, y=3: (5-3)²=4, (3-5)²=4, 4 * 4=(4-4)²=0 — 도 다시 0을 준다. 답이 x 나 y 에 절대 의존하지 않으므로, x 나 y 가 아직 보이는 선택지(B, C, D, E)는 모두 함정이고, 상수인 (A) 0만 살아남을 수 있다.
💡핵심 정리
어떤 규칙이 두 대상의 차를 제곱하는데 그 두 대상이 사실 같다면, 차는 0 이므로 답 전체가 0이다.
- 별표 규칙 해석하기
- 두 입력은 서로 같다
- 실제 수로 확인하기
- 같은 입력을 빼서 제곱하기