AMC 10 · 2009 · #17

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Symmetric Function of Roots via Vieta

geometric-series-infinitequadratic-equationssystems-of-equations convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: geometric-series-infinite

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

서로 다른 두 등비급수가 첫째항을 공유하고 각각 자기 공비와 같은 합을 가진다. 두 공비의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\frac {1}{2}$

(C)

(D)

$\frac {1 + \sqrt {5}}{2}$

(E)

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

'급수의 합이 자기 공비와 같다'는 것은 말로 된 조건이므로, 첫 수는 무한 등비급수 합 공식으로 이를 식으로 바꾸는 것이다. 그러면 같은 미지수 a로 시작하는 두 식이 나온다. a와 각 공비를 따로따로 구하려는 시도는 함정이다. a의 값이 끝내 주어지지 않기 때문이다. 유용한 수는 어느 한 식을 푸는 대신 두 식을 서로 비교하는 것이다. 공유된 a가 사라지고, 남은 차이가 제곱의 차로 인수분해된다. 마지막으로 구체적인 첫째항을 하나 넣어 확인한다. 그런 급수 쌍이 실제로 존재할 수 있어야만 이 결론이 의미를 갖기 때문이다.

1STEP 1

각 공비의 범위 확정하기

합이 존재한다는 것이 두 공비를 제한한다.

a ＞ 0, 0 ＜ r₁ ＜ 1, 0 ＜ r₂ ＜ 1

2STEP 2

각 급수를 식으로 바꾸기

각 급수가 방정식 하나가 된다.

a/(1-r₁) = r₁ ⟹ a = r₁(1-r₁) = r₁ - r₁², a/(1-r₂) = r₂ ⟹ a = r₂ - r₂²

3STEP 3

두 공비가 한 식을 공유함을 보기

둘이 각자의 공비로 같은 식을 만든다.

r₁ - r₁² = a = r₂ - r₂², r₁ ≠ r₂

4STEP 4

빼고 나서 인수분해하기

빼고 약분하면 합이 1이다.

r₁ - r₂ = r₁² - r₂² = (r₁ - r₂)(r₁ + r₂) ⟹ 1 = r₁ + r₂

5STEP 5

그런 쌍이 실제로 존재하는지 확인하기

구체적인 한 쌍이 1을 확인해 준다, 보기 (C).

a = 3/16: r² - r + 3/16 = (r - 1/4)(r - 3/4) = 0, a/(1 - 1/4) = 1/4, a/(1 - 3/4) = 3/4, 1/4 + 3/4 = 1

정답

서로 독립적인 두 가지 확인이 일치한다. 첫째, 1단계의 범위에 의해 각 공비가 0과 1 사이에 엄격히 들어가므로 두 공비의 합은 0과 2 사이에 엄격히 있다. 이것만으로도 계산 없이 보기 0과 2가 걸러진다. 둘째, 유도 과정에서 a의 구체적 값을 전혀 쓰지 않았으므로 허용되는 모든 첫째항에 대해 합이 같아야 하는데, 두 개를 넣어 보면 실제로 그렇다. a가 16분의 3이면 공비는 4분의 1과 4분의 3이고, a가 5분의 1이면 공비는 약 0.2764와 0.7236이다. 두 쌍 모두 합이 1이다. 또 이 관계는 두 공비가 2분의 1을 기준으로 서로 대칭임을, 즉 r₂ = 1 - r₁임을 예측하는데 두 시험 쌍 모두 이를 만족한다. 모든 것이 (C)와 앞뒤가 맞는다.

💡핵심 정리

서로 다른 두 수가 같은 식에서 같은 값을 만든다면 두 식을 빼 보자. 공유된 미지수가 사라지고 남은 것이 두 수의 합을 알려 준다.

각 공비의 범위 확정하기
각 급수를 식으로 바꾸기
두 공비가 한 식을 공유함을 보기
빼고 나서 인수분해하기
그런 쌍이 실제로 존재하는지 확인하기

각 공비의 범위 확정하기

각 급수를 식으로 바꾸기

두 공비가 한 식을 공유함을 보기

빼고 나서 인수분해하기

그런 쌍이 실제로 존재하는지 확인하기

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