AMC 10 · 2009 · #23
학년 9 algebra답을 골라 클릭하세요.
규칙 g(x) = -f(100 - x)는 출력의 부호를 뒤집고 입력을 50에 대해 뒤집는다. 이 두 뒤집기를 한꺼번에 하면 그림 전체를 점 (50, 0)을 중심으로 180도 돌린 것과 같으므로, g의 포물선은 f의 포물선을 반 바퀴 돌린 것이다. 이 관찰 하나가 어떤 전개보다 값지다. 네 x절편이 50을 중심으로 짝을 이루어 마주 본다는 뜻이기 때문이다. 원점을 50으로 옮기면 미지의 절편 네 개가 두 개로 줄고, 주어진 간격이 그중 하나를 바로 알려 주며, 꼭짓점 조건은 한 이차식의 두 근에 대한 깔끔한 식 하나가 된다. 그 두 근을 변수로 두고 크기가 아니라 비로 비교하는 것이 미지의 최고차항 계수를 사라지게 만드는 핵심이다.
규칙을 반 바퀴 회전으로 읽기
그 규칙은 고정점에 대한 반 바퀴 회전이다.
출력을 음수로 바꾸고 입력을 50에 대해 뒤집는 것은 두 동작이 아니라 한 동작, 즉 (50, 0)을 축으로 종이를 반 바퀴 돌리는 것이다.
9.F-IF.A.2Visualize Spatial Relationships원점을 50으로 옮기기
원점을 그리로 옮기면 모든 것이 간단해진다.
대칭이 이미 자리 잡은 곳에 원점을 두면 지저분한 100이 모든 식에서 사라진다.
9.F-IF.A.2Organize Information In More Ways근은 부호가 반대인 짝으로 나온다
근이 부호가 반대인 짝으로 나온다.
원점에 대한 반 바퀴 회전은 각 절편을 그 음수로 보내므로 절편 전체가 자기 자신 위로 포개진다.
중심을 도는 반 바퀴 회전은 각 절편을 그 반대수로 보내므로, 절편 전체가 자기 위로 접힌다.
▸ 왜?
반 바퀴 회전은 그림을 늘리지 않고 옮기므로, 절편은 다른 절편 위에 놓여야 한다.
▸ 왜?
각 절편은 정확히 다른 하나로 보내지므로, 넷이 남김없이 짝을 이룬다.
절편 네 개라는 조건이 이름표를 확정한다
네 근이 서로 다르므로 이름표가 강제된다.
서로 다른 절편 네 개를 요구하면 무너지는 두 경우가 금지되고, 남는 것은 작은 짝 하나와 큰 짝 하나가 두 포물선에 나뉘어 있는 모양뿐이다.
9.F-IF.B.4Eliminate Possibilities꼭짓점 단서를 식 하나로 바꾸기
꼭짓점 단서가 하나의 대칭인 방정식이 된다.
둘째 포물선은 첫째를 거꾸로 뒤집어 뒤로 돌린 것일 뿐이므로, 꼭짓점 조건은 결국 p를 V와 -V에서 자기 자신과 비교하는 일이 된다.
9.A-CED.A.1Convert To Algebra전개하여 대칭인 관계식 얻기
전개하면 그것이 두 근 사이의 관계가 된다.
양변이 같은 인수 a를 품고 있으므로 미지의 기울기 정도는 약분되고 두 근이 이루는 모양만 남는다.
9.A-SSE.A.2Introduce A Variable두 근의 비 구하기
풀면 그 비가 나온다.
조건은 포물선의 크기를 전혀 정해 주지 않고 두 근의 비만 정해 주므로, 수 하나가 모든 일을 해낸다.
9.A-REI.B.4Introduce A Variable그런 짝이 실제로 있는지 확인하기
구체적인 한 쌍이 그 상황이 실제로 존재함을 보인다.
값이 무엇이어야 하는지 말해 주는 규칙은, 그 값이 정말 일어날 수 있음을 보여 주는 예 하나가 있어야 비로소 증명이 된다.
9.A-SSE.B.3Guess And Checkm, n, p 맞추기
세 수를 맞추면 752, 보기 (D).
바깥 짝과 안쪽 짝의 비를 알고 나면 주어진 간격 150이 곧바로 답까지 확대된다.
9.A-SSE.A.2Introduce A Variable한 그래프가 다른 그래프를 거꾸로 돌린 것이라면 회전의 중심으로 원점을 옮기자. 네 절편이 마주 보는 두 짝이 되고, 남는 일은 바깥 짝이 얼마나 더 큰지 알아내는 것뿐이다.
- 규칙을 반 바퀴 회전으로 읽기
- 원점을 50으로 옮기기
- 근은 부호가 반대인 짝으로 나온다
- 절편 네 개라는 조건이 이름표를 확정한다
- 꼭짓점 단서를 식 하나로 바꾸기
- 전개하여 대칭인 관계식 얻기
- 두 근의 비 구하기
- 그런 짝이 실제로 있는지 확인하기
- m, n, p 맞추기