AMC 10 · 2009 · #7
학년 8 algebra답을 골라 클릭하세요.
"등차"라는 단어는 장식이 아니라 식으로 위장한 방정식이다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 이것을 a₂ - a₁ = a₃ - a₂, 즉 미지수 x 하나짜리 방정식으로 바꾼다. 이 방정식이 문제 전체를 짊어지므로 이것이 정확히 무엇을 증명하는지 따져 볼 필요가 있다. 방정식을 풀면 "수열이 등차라면 x = 4 여야 한다"는 것만 나올 뿐, x = 4가 실제로 등차수열을 만들어 준다는 사실은 아직 나오지 않는다. 그래서 도구 #6(추측하고 확인하기)을 일부러 반대 방향으로 쓴다 — x = 4를 다시 대입해 세 수가 정말 일정하게 커지는지 확인한다. a₁과 d 가 확정되면 도구 #5(패턴 찾기)로 일반항 a_n = 4n + 1을 읽어낸다. 마지막 단계에서는 2009에 실제로 도달하는지, 즉 4n + 1 = 2009를 푼 n 이 분수가 아니라 양의 정수인지도 확인해야 한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 독립 어림을 준다: 항이 한 걸음마다 약 4 씩 커지므로 n 은 2009 ÷ 4 근처여야 한다.
"등차"를 방정식으로 바꾸기
간격이 같다는 조건이 방정식 하나가 된다.
간격이 같다는 말은 뺄셈에 대한 진술이므로 빼면 된다 — 정의 자체가 곧 방정식이다.
7.EE.B.4Convert To Algebrax 를 구하고, 그것이 유일함을 확인하기
풀면 그 문자가 유일하게 정해진다.
x 의 계수가 0이 아닌 일차방정식은 해가 정확히 하나이므로, 후보가 하나 나오고 그 밖에 확인할 것이 없다.
8.EE.C.7Convert To Algebra다시 대입해 실제로 성립함을 확인하기
다시 대입하면 수열이 실제로 등차임이 확인된다.
방정식을 푸는 것은 후보를 만들어 내는 일이고, 그 후보를 다시 넣어 보는 것이 그것을 검증된 해로 바꾸는 일이다.
6.EE.B.5Guess And Check일반항의 식 세우기
일반항은 단순한 일차식이다.
등차수열은 위장한 직선이다 — 공차가 기울기이므로, 5 에서 출발해 4 씩 n 걸음이면 4n+1이 된다.
등차수열은 모습을 바꾼 직선이다. 정해진 출발점에서 정해진 크기로 n 걸음 나아간 것이다.
▸ 왜?
각 항은 앞 항에 같은 간격을 더한 것이므로, 간격이 그냥 쌓인다.
▸ 왜?
같은 간격을 n번 되풀이하는 것은 같은 묶음을 센 것이며, 곱셈이 그것을 기록한다.
n 을 구하고 2009에 실제로 닿는지 확인하기
풀면 정수 502가 나온다, 보기 (A).
방정식을 풀면 수가 나오지만 자리로 인정되는 것은 양의 정수뿐이므로, 나누어떨어지는지 확인하는 일은 답의 일부이지 덤이 아니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra간격이 같다는 말이 곧 방정식이다 — a₂ - a₁ = a₃ - a₂를 쓰고 x = 4를 얻은 뒤, 정말 성립하는지 확인하고, 2009까지 4를 세면 502 번째 항에 닿는다.
- "등차"를 방정식으로 바꾸기
- x 를 구하고, 그것이 유일함을 확인하기
- 다시 대입해 실제로 성립함을 확인하기
- 일반항의 식 세우기
- n 을 구하고 2009에 실제로 닿는지 확인하기