AMC 10 · 2009 · #9

학년 9 algebra
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation
function-evaluationfunction-compositionquadratic-equations work-backwardsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: function-evaluation
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 이차식이 밀린 입력에서의 값으로만 설명되어 있다. 세 계수의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
-1
(B)
0
(C)
1
(D)
2
(E)
3
풀이 과정
전략 관점 바꾸기

a, b, c를 하나씩 찾아낼 필요는 없다. 합 a+b+c는 표준형에 x = 1을 넣었을 때 나오는 값 그 자체이므로, 미지의 계수 세 개에서 하나의 수 f(1)로 관점을 옮긴다. 주어진 식은 x+3 꼴의 입력에서만 f의 값을 알려 주므로, x+3이 1이 되는 x를 거꾸로 찾는다. 그다음 a, b, c를 대수적으로 직접 복원하여, 그런 f가 실제로 존재한다는 사실까지 확인하는 독립적인 두 번째 경로로 삼는다.

1STEP 1

a+b+c를 하나의 함숫값으로 읽기

계수의 합은 1에서의 값이다.

f(1) = a · 1² + b · 1 + c = a + b + c
2STEP 2

필요한 입력을 거꾸로 찾기

밀기를 거꾸로 돌리면 알맞은 입력이 나온다.

x + 3 = 1 ⟹ x = -2
3STEP 3

x = -2를 주어진 이차식에 대입하기

그 자리에서 계산하면 2다.

f(1) = f(-2+3) = 3(-2)² + 7(-2) + 4 = 12 - 14 + 4 = 2
4STEP 4

그런 f가 실제로 존재하는지 확인하기

그런 이차식이 실제로 존재한다.

a(x+3)² + b(x+3) + c = ax² + (6a+b)x + (9a+3b+c) = 3x² + 7x + 4
5STEP 5

a, b, c를 구해 두 경로를 맞춰 보기

계수를 직접 구해도 2가 확인된다, 보기 (A).

a = 3, b = 7 - 6a = -11, c = 4 - 9a - 3b = 10 → a + b + c = 3 - 11 + 10 = 2
정답
2
복원한 f를 원래 조건에 다시 넣어 본다. f(x+3) = 3(x+3)² - 11(x+3) + 10 = 3x² + 18x + 27 - 11x - 33 + 10 = 3x² + 7x + 4로 주어진 식과 정확히 일치하고, f(1) = 3 - 11 + 10 = 2이다. 두 경로의 결과가 같으며, 근거로 삼는 사실은 서로 다르다. 대입 경로는 항등식을 x = -2라는 한 점에서만 쓰고, 계수 비교 경로는 모든 x에서 쓰는 대신 그런 f가 존재하고 유일하다는 것까지 보여 준다. 두 경로를 합치면 a+b+c = 2가 단지 모순이 없는 값이 아니라 반드시 그렇게 정해지는 값임을 알 수 있다. 크기도 그럴듯하다. 다섯 선택지가 모두 작은 정수이고 2가 그 안에 들어 있다.
💡핵심 정리

다항식의 계수의 합은 x = 1에서의 값과 같으므로, 주어진 식이 f(1)을 알려 주게 하는 입력 하나를 찾으면 된다.

  • a+b+c를 하나의 함숫값으로 읽기
  • 필요한 입력을 거꾸로 찾기
  • x = -2를 주어진 이차식에 대입하기
  • 그런 f가 실제로 존재하는지 확인하기
  • a, b, c를 구해 두 경로를 맞춰 보기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.