AMC 10 · 2009 · #1
학년 4 arithmetic modular-arithmeticmultiplesmental-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: multiples
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
닷새 동안 매일 값이 다른 두 물건 중 하나를 산다. 닷새 총액이 큰 단위로 딱 떨어진다. 비싼 쪽을 몇 개 샀는지 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
(E)
5
풀이 과정
전략 변수 도입하기
베이글 개수를 문자 하나로 두면(도구 #4) 머핀 개수와 총액까지 그 하나의 미지수로 나타낼 수 있어, 딱 떨어지는 달러 조건이 확인할 식 하나로 정리된다. 센트로 계산하는 것(도구 #8)이 핵심이다. '딱 떨어지는 달러'는 곧 센트 총액이 00으로 끝난다는 뜻, 즉 100의 배수라는 뜻이기 때문이다. 그러면 베이글 개수의 경우가 여섯 가지뿐이므로, 도구 #3(가능성 지우기)으로 어느 개수가 실제로 100의 배수가 되는지 따져 마무리한다.
1STEP 1
센트 단위로 계산하기
작은 단위로 하면 모든 것이 정수로 남는다.
머핀=50c, 베이글=75c, 딱 떨어지는 달러⇔ 총액이 100의 배수
센트로 세면 '딱 떨어지는 달러'가 '00으로 끝난다'는 간단한 조건으로 바뀐다.
4.MD.A.2Analyze The Units2STEP 2
베이글을 문자로, 총액 세우기
한 개수에 이름을 붙이면 총액을 문자 하나로 쓴다.
75b+50(5-b)=75b+250-50b=250+25b
머핀은 5일에서 남는 만큼이므로 미지수 b 하나로 한 주 전체가 표현된다.
4.OA.A.3Introduce A Variable3STEP 3
딱 떨어지는 달러 조건 세우기
딱 떨어진다는 조건이 나머지 조건이 된다.
250+25b≡ 0 (mod 100)
딱 떨어지는 달러 총액은 곧 100의 배수이므로, 닿을 수 있는 범위 안의 100의 배수를 찾으면 된다.
달러 단위로 딱 떨어지는 총액은 100센트의 배수일 뿐이므로, 100의 배수를 찾으면 된다.
▸ 왜?
1달러는 100센트를 묶은 것이므로, 달러는 같은 측정값의 더 높은 자리다.
자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
▸ 왜?
총액이 달러로 딱 떨어지는 것은 100으로 나눈 나머지가 없을 때뿐이다.
나머지가 있는 나눗셈N을 크기 d의 묶음으로 나누면 N = q·d + r (0 ≤ r < d); r=0일 때만 N은 d의 배수다.
4STEP 4
여섯 경우 확인하기
여섯 경우를 확인하면 2가 남는다, 보기 (B).
b=0 : 250, 1 : 275, 2 : 300, 3 : 325, 4 : 350, 5 : 375 → b=2 (B)
경우가 여섯 개뿐이라 하나씩 확인하는 것이 어떤 요령보다 빠르고 확실하다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities정답
2
주간 총액은 모두 머핀일 때 5×50=250 센트(2.50)와 모두 베이글일 때 5×75=375 센트(3.75) 사이에 있어야 한다. 그 범위에서 딱 떨어지는 달러는 3.00 하나뿐이다. 2.50에서 시작해 머핀 하나를 베이글로 바꿀 때마다 25센트가 더해지므로, 3.00에 닿으려면 50센트 더, 즉 정확히 2번 바꿔야 한다. 곧 베이글 2개로, 구한 답과 일치한다.
💡핵심 정리
돈을 센트로 세어 보자. 딱 떨어지는 달러는 총액이 00으로 끝난다는 뜻이니, 어느 선택지가 거기에 닿는지 찾으면 된다.
- 센트 단위로 계산하기
- 베이글을 문자로, 총액 세우기
- 딱 떨어지는 달러 조건 세우기
- 여섯 경우 확인하기