AMC 10 · 2009 · #12
학년 8 algebra답을 골라 클릭하세요.
도구 #4(변수 도입하기)로 수열 전체를 결정하는 두 가지, 즉 첫째 항 a와 공비 r에 이름을 붙인다. 그러면 문제는 독립된 두 개의 작은 문제로 갈라진다(도구 #7). 먼저 r을 구하고, 그다음 a를 구하면 된다. 다섯째 항과 여덟째 항은 세 단계 떨어져 있으므로 두 식을 나누면 a가 통째로 사라지고, 우변은 계승의 정의에서 곧바로 8!/7! = 8이 된다. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 풀이가 건너뛰는 부분을 담당한다. 8의 실수 세제곱근이 r = 2뿐임을 보이는 일인데, 바로 여기서 "실수로 이루어진"이라는 표현이 제 몫을 한다. 마지막으로 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 수열을 직접 만들어 두 항이 실제로 나오는지 확인한다.
첫째 항과 공비에 이름 붙이기
첫째항과 공비에 이름을 붙이면 주어진 두 항을 쓴다.
어디서 시작하는지와 무엇을 곱하는지, 등비수열이 가진 정보는 이 둘뿐이므로 이름을 붙여 두고 주어진 두 항이 값을 정하도록 하면 된다.
6.EE.A.2Introduce A Variable나눗셈으로 첫째 항 지우기
나누면 첫째항과 계승이 지워진다.
등비수열의 두 항을 나누면 시작값이 지워지고, 두 항 사이의 단계 수만큼 거듭제곱된 공비만 남는다.
등비수열의 두 항을 나누면 첫 항이 지워지고 공비의 거듭제곱만 남는다.
▸ 왜?
모든 항은 첫 항에 공비를 몇 번 곱한 것이므로, 첫 항은 공통 인수다.
▸ 왜?
지수는 공비를 몇 번 썼는지를 세므로, 몫의 지수는 두 자리 사이의 간격이다.
r이 정확히 2여야 하는 이유
인수분해하면 공비가 정확히 2임이 보인다.
제곱과 달리 세제곱은 수직선을 접어 겹치게 하지 않으므로 실수 세제곱근은 하나뿐이다.
8.EE.A.2Eliminate Possibilities첫째 항 거꾸로 구하기
거꾸로 구하면 첫째항이 315다.
공비를 알고 나면 첫째 항에서 다섯째 항까지의 여정은 두 배 네 번이므로, 16으로 한 번 나누면 그 길을 되돌아간다.
6.EE.B.7Introduce A Variable그런 수열이 실제로 존재하는지 확인
수열을 써 보면 확인된다, 보기 (E).
방정식을 푸는 것은 답이 어떤 값이어야 하는지를 보여 주고, 수열을 직접 만드는 것은 그 답이 실제로 있음을 보여 준다.
4.OA.C.5Guess And Check등비수열에서 뒤쪽 항을 앞쪽 항으로 나누면 시작값이 지워지므로, 알고 있는 두 항 사이의 간격이 무엇을 곱하고 있는지 정확히 알려 준다.
- 첫째 항과 공비에 이름 붙이기
- 나눗셈으로 첫째 항 지우기
- r이 정확히 2여야 하는 이유
- 첫째 항 거꾸로 구하기
- 그런 수열이 실제로 존재하는지 확인