AMC 10 · 2009 · #15
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
지수방정식 다섯 개를 각각 풀어 지저분한 해 다섯 개를 비교하는 것은 느린 길이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 달라지는 부분에만 이름을 붙인다. 모든 선택지를 밑이 b인 3b^x = 7로 쓰는 것이다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 핵심인데, 이 공통 꼴을 보면 해 x가 가장 큰 것은 밑이 가장 작은 것임을 알 수 있고, 문제는 훨씬 쉬운 질문으로 바뀐다. (0,3)에서 r, r/10, 2r, √(r), 1/r 중 가장 작은 것은 무엇인가? 도구 #3(가능성 지우기)으로 나머지 네 후보를 한 번에 하나씩 비교해 지운다. 도구 #14(극단의 원리)는 논증을 정직하게 지켜 준다. 이 비교들 중 실패할 수 있는 것은 단 하나뿐이므로, r를 범위의 끝까지 밀어 보고 부등호가 뒤집히는 정확한 값을 찾는다. 바로 그 지점에서 가정 0 ＜ r ＜ 3이 제 몫을 하며, r=2 같은 값 하나를 대입한 확인이 증명이 될 수 없는 이유도 여기에 있다.
다섯 방정식을 한 꼴로 줄이기
다섯 모두 밑만 다른 한 꼴로 줄어든다.
딱 한 자리만 다른 방정식 다섯 개는 사실 손잡이가 하나 달린 방정식 하나이다.
9.A-SSE.A.2Introduce A Variable밑이 클수록 x는 작다
밑이 크면 해가 작아진다.
천천히 올라가는 밑일수록 같은 높이에 닿으려면 더 큰 지수가 필요하다.
더 천천히 오르는 밑은 같은 높이에 닿으려면 더 큰 지수가 필요하다.
▸ 왜?
지수는 밑을 몇 번 쓰는지를 세므로, 작은 밑일수록 더 자주 써야 한다.
▸ 왜?
그 맞바꿈이 결코 뒤집히지 않으므로, 가장 작은 밑이 언제나 가장 큰 지수를 지닌다.
r, 2r, 루트 r 지우기
밑 셋은 즉시 배제된다.
양변에 공통으로 든 양수로 나누면 r에 관한 비교가 그냥 수에 관한 사실로 바뀐다.
11.N-RN.A.2Eliminate Possibilities빠듯한 비교 하나
한 비교는 정말 빠듯해서 주어진 범위가 필요하다.
분모를 없애면 두 분수의 경쟁이 r²에 대한 질문 하나로 바뀐다.
9.A-CED.A.1Eliminate Possibilitiesr를 끝까지 밀어 보기
범위를 끝까지 밀어도 여전히 성립한다.
진짜 경계값을 가진 부등식 하나가 바로 문제의 가정이 지키려고 쓰인 대상이다.
8.NS.A.2Extreme Principle가장 작은 밑, 가장 큰 해
밑이 가장 작은 것이 이긴다, 보기 (B).
가장 천천히 자라는 곡선이 7에 가장 늦게 닿으므로 가장 큰 지수가 필요하다.
11.F-LE.A.4Solve An Easier Related Problem다섯 방정식 모두 3에서 7까지 올라가는데, 밑이 가장 작은 것이 가장 천천히 올라가므로 가장 큰 지수가 필요하다.
- 다섯 방정식을 한 꼴로 줄이기
- 밑이 클수록 x는 작다
- r, 2r, 루트 r 지우기
- 빠듯한 비교 하나
- r를 끝까지 밀어 보기
- 가장 작은 밑, 가장 큰 해