AMC 10 · 2009 · #23

학년 11 probability
유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region
complex-numbersgeometric-probabilityarea-trianglescomplementary-counting convert-to-algebraidentify-subproblemssymmetry-argument ↑ 선수 지식: complex-numbersgeometric-probability
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
복소평면의 정사각형에서 균등하게 고른 점에 고정된 복소수를 곱한다. 그 곱이 다시 정사각형 안에 들어올 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac12$
(B)
$\frac23$
(C)
$\frac34$
(D)
$\frac79$
(E)
$\frac78$
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

'곱이 S에 있다'는 조건은 복소수에 대한 말이므로, 먼저 곱을 a + bi 꼴로 펼쳐서 그것이 x와 y에 무엇을 요구하는지 읽어 낸다. 그러면 흐릿한 요구 하나가 깔끔한 부등식 두 개로 바뀐다. 그리고 S는 실수부와 허수부를 따로 검사하므로 이 번역은 양방향으로 성립한다. 즉 두 부등식은 필요조건일 뿐 아니라 충분조건이다. 그다음부터는 순수한 넓이 문제이고, 이기는 영역보다 지는 영역이 재기 쉬우므로 여집합을 센다. 이 논증이 조용히 무너질 수 있는 곳은 마지막 뺄셈 하나뿐이다. 네 귀퉁이 조각을 빼는 일은 그 조각들이 서로 겹치지 않을 때에만 정당하다. 그래서 x와 y를 허용된 극단값까지 밀어붙여, 각 조각이 자기 사분면 안에 갇힌다는 것을 직접 확인한다.

1STEP 1

곱을 펼쳐 조건을 둘로 쪼개기

곱을 펼치면 조건이 두 부등식으로 나뉜다.

(3/4 + 3/4i)(x + iy) = 3/4(x-y) + 3/4(x+y)i in S ⇔ |x-y| ≤ 4/3 and |x+y| ≤ 4/3
2STEP 2

넓이 그림으로 바꾸기

둘이 함께 정사각형을 마름모로 자른다.

P = frac{area(S ∩ {|x| + |y| ≤ 4/3})}{4}
3STEP 3

실패하는 부분은 네 귀퉁이 삼각형

실패하는 부분은 네 귀퉁이 삼각형이다.

each corner triangle = 1/2 · 2/3 · 2/3 = 2/9
4STEP 4

네 조각이 겹치지 않는지 확인

그것들이 겹치지 않아 넓이가 그대로 더해진다.

x + y ＞ 4/3, x ≤ 1, y ≤ 1 → x ＞ 1/3 and y ＞ 1/3
5STEP 5

빼고 나누기

빼고 나누면 7/9, 보기 (C).

(4 - 4 · 2/9)/4 = 28/9/4 = 28/36 = 7/9
정답
7/9
크기가 그럴듯하다. 곱하는 수의 절댓값은 |3/4 + 3/4i| = 3√(2)/4 ≈ 1.06이므로, 곱셈은 45° 회전시키면서 길이를 겨우 6퍼센트쯤 늘인다. 정사각형의 대부분이 살아남아야 하니 답은 1보다 조금 작아야 하고, 7/9 ≈ 0.78이 여기에 맞는다. 1/2은 지나치게 가혹하다. 반대쪽에서 조이는 점검도 있다. 기울어진 정사각형 |x| + |y| ≤ 4/3의 넓이는 2(4/3)² = 32/9 ≈ 3.56이므로 겹치는 부분은 32/9보다도 4보다도 작아야 하는데, 28/9 ≈ 3.11이 그렇다. 세 번째 점검으로 팔각형의 여덟 꼭짓점 (± 1, ±1/3)과 (±1/3, ± 1)에 신발끈 공식을 직접 적용해도 다시 28/9가 나온다. 끝으로 4단계의 서로 겹치지 않음은 형식적인 확인이 아니다. 경계값이 1 아래로 내려가면 그것이 깨지고, 그때는 답이 '4 빼기 따로 떨어진 삼각형 넷'이 아니게 된다.
💡핵심 정리

복소수를 곱하는 일은 평면 전체를 돌리고 늘이는 일일 뿐이라서, '정사각형 안에 머문다'는 조건이 직선 두 개의 조건으로 바뀌고, 그다음부터는 귀퉁이만 잘라 내면 되는 넓이 문제다.

  • 곱을 펼쳐 조건을 둘로 쪼개기
  • 넓이 그림으로 바꾸기
  • 실패하는 부분은 네 귀퉁이 삼각형
  • 네 조각이 겹치지 않는지 확인
  • 빼고 나누기

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