AMC 10 · 2009 · #24

학년 11 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

trigonometric-ratiosfunction-compositiondomain-restrictionperiodic-function easier-related-problemsystematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: trigonometric-ratiosfunction-composition

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

한 변수에 관한 두 역삼각함수 식이 닫힌 구간에서 같다고 놓인다. 해의 개수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

주어진 식에는 조각조각 정의되는 합성함수가 들어 있으므로 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 중심이다. 즉 구간 조건이 딸린 평범한 방정식 sin 6x = sin x로 바꿔치기해서 그것을 푼다. 이 바꿔치기가 문제 전부이므로, 한쪽 방향의 따름이 아니라 동치로 해야 한다. 양변에 사인을 취하는 것은 합법이고 잃는 것도 없지만, 그것만으로는 아무것도 증명하지 못한다. 해가 아닐 수도 있는 후보를 만들어 낼 뿐이고, 실제로 이 문제에는 그런 가짜가 있다. 빠진 방향을 채워 주는 것이 도구 #14(극단의 원리)인데, 대수가 아니라 sin⁻¹의 치역에 적용한다. 좌변은 결코 π/2를 넘지 못하므로 π/2보다 큰 x는 살아남을 수 없다. 이 한 줄의 한계는 마무리 손질이 아니라 답의 절반이고, 이것을 건너뛰면 보기 안에 준비되어 있는 오답으로 곧장 간다. 도구 #1(그림 그리기)은 두 각의 사인이 같아지는 경우를 단위원에서 읽어 내어, 경우 나열이 외운 것이 아니라 증명된 것이 되게 한다. 그다음 도구 #13과 #2가 기계적으로 마무리하고, 도구 #6이 살아남은 값을 원래 방정식에 하나씩 넣어 확인한다.

1STEP 1

우변은 정확히 x

한쪽이 변수 자체로 간단해진다.

cos⁻¹(cos x) = x for every x ∈ [0, π], so the equation becomes sin⁻¹(sin 6x) = x

2STEP 2

구간의 절반이 즉시 사라진다

다른 쪽의 치역이 구간의 절반을 없앤다.

-π/2 ≤ sin⁻¹(t) ≤ π/2 ⟹ x = sin⁻¹(sin 6x) ≤ π/2, so every solution lies in [0, π/2]

3STEP 3

역함수를 동치로 바꾸기

남은 곳에서는 역함수를 동치로 바꿀 수 있다.

For 0 ≤ x ≤ π/2: sin⁻¹(sin 6x) = x ⇔ sin 6x = sin x

4STEP 4

두 각의 사인이 같아질 때

두 사인이 같다는 조건이 두 묶음을 준다.

sin A = sin B ⇔ A = B + 2kπ or A = π - B + 2kπ, k ∈ Z

5STEP 5

후보의 두 사다리

각 묶음이 후보의 등차 사다리다.

6x = x + 2kπ → x = 2kπ/5, 6x = π - x + 2kπ → x = ((2k+1)π)/7

6STEP 6

파이 나누기 2 아래 칸만 남기기

범위 안의 칸만 남기면 몇 개가 남는다.

0 ≤ 2kπ/5 ≤ π/2 ⇔ k ∈ {0, 1}, 0 ≤ ((2k+1)π)/7 ≤ π/2 ⇔ k ∈ {0, 1}, 2π/5 = 14π/35 ＜ 15π/35 = 3π/7

7STEP 7

살아남은 값을 확인하고 세기

각각을 확인하면 4, 보기 (B).

sin⁻¹(sin 18π/7) = sin⁻¹(sin 4π/7) = sin⁻¹(sin 3π/7) = 3π/7 = cos⁻¹(cos 3π/7), 4 values → (B)

정답

가장 좋은 점검은 오답이 어디서 나오는지 알아내는 것이다. 보기 중 하나가 바로 이 풀이가 증명해야 했던 그 단계에서 만들어지기 때문이다. 치역 제한 없이 [0, π] 전체에서 sin 6x = sin x를 풀면, 첫째 가족에서 0, 2π/5, 4π/5가, 둘째 가족에서 π/7, 3π/7, 5π/7, π가 나와 모두 7개다. 그리고 그 7이 보기 (E)로 놓여 있다. x ≤ π/2라는 제한이 큰 쪽 셋을 지우고 4가 남는다. 그래서 두 수가 서로를 확인해 준다. 후보 7개, 가짜 3개, 해 4개다. 가짜는 하나씩 손으로 들춰낼 수 있다. x = 4π/5에서 좌변은 π/5다. x = 5π/7에서는 6x = 30π/7 = 4π + 2π/7이므로 좌변이 2π/7이다. x = π에서는 좌변이 sin⁻¹(sin 6π) = 0이다. 어느 것도 자기 x와 같지 않고, 실패의 이유는 모두 같다. sin⁻¹이 돌려주는 것은 출발한 각이 아니라 반사된 각이라는 것이다. 경계도 따로 봐야 한다. 다섯 번째 해가 거기 숨을 수 있기 때문이다. x = π/2에서 좌변은 sin⁻¹(sin 3π) = 0 ≠ π/2이므로 자른 지점은 해가 아니고, 경계를 포함했다고 얻거나 잃은 것은 없다. 가장 덜 뻔한 해에 대한 수치 점검도 해 보면, x = 3π/7 ≈ 1.3464, 6x ≈ 8.0784, sin 6x ≈ 0.9749, sin⁻¹(0.9749) ≈ 1.3464로 x와 일치한다.

💡핵심 정리

역삼각함수는 언제나 자기 구간 안의 각만 돌려주므로, 사인을 맞추기 전에 먼저 x가 어떤 값까지 허용되는지부터 물어야 한다.

우변은 정확히 x
구간의 절반이 즉시 사라진다
역함수를 동치로 바꾸기
두 각의 사인이 같아질 때
후보의 두 사다리
파이 나누기 2 아래 칸만 남기기
살아남은 값을 확인하고 세기