AMC 10 · 2009 · #5
학년 4 number-theory prime-factorizationfactorslogical-deduction systematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-factorization
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
세 나이 중 둘이 같고 둘 다 셋째보다 많다. 세 나이의 곱이 주어져 있다. 세 나이의 합을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
10
(B)
12
(C)
16
(D)
18
(E)
24
풀이 과정
전략 변수 도입하기
쌍둥이의 나이를 t, 키아나의 나이를 k라 두면, 두 형의 나이가 같으므로 곱은 t × t × k = 128이 되어 t가 두 번 등장합니다. 그래서 제곱이 128을 나누는 자연수 t만 나열한 뒤, '형이 더 많다'는 조건을 어기는 경우를 지우면 됩니다.
1STEP 1
나이에 이름 붙이기
같은 쌍이 있어 곱에 제곱수가 들어 있다.
t × t × k = 128
두 형에게 같은 글자 하나를 쓰면 두 나이가 사실 같은 수라는 점이 그대로 담깁니다.
4.OA.A.3Introduce A Variable2STEP 2
조건에 맞는 쌍둥이 나이 나열하기
나열하면 후보가 넷이다.
1{·}1{·}128, 2{·}2{·}32, 4{·}4{·}8, 8{·}8{·}2
쌍둥이 나이는 두 번 곱해지므로, 제곱이 128 안에 들어가는 나이만 가능합니다.
쌍둥이의 나이가 두 번 쓰이므로, 그 제곱이 곱 안에 들어가는 나이만 가능하다.
▸ 왜?
그 곱의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 세 나이는 그것의 참된 인수분해여야 한다.
소인수분해의 유일성1보다 큰 모든 정수는 (순서를 제외하면) 오직 한 가지 방법으로 소수의 곱으로 나타난다.
▸ 왜?
쌍둥이의 나이가 그보다 크면 그것만으로도 곱이 주어진 값을 넘어선다.
부등호의 추이성첫째가 둘째보다 크고 둘째가 셋째보다 크면 첫째는 셋째보다 크다.
3STEP 3
형이 더 많은 경우만 남기기
더 많다는 조건이 하나만 남긴다.
8 ＞ 2 ✓
'형이 더 많다'는 사실은 쌍둥이가 키아나보다 큰 경우만 남기고 나머지 조합을 걸러 냅니다.
4.NBT.A.2Eliminate Possibilities4STEP 4
세 나이 더하기
더하면 18, 보기 (D).
8 + 8 + 2 = 18
유효한 나이가 하나로 정해지면 그 값을 더하는 마지막 단계는 쉽습니다.
4.NBT.B.4Introduce A Variable정답
18
남은 경우를 직접 확인하면 8 × 8 × 2 = 128로 곱이 맞고, 두 형(8)이 모두 키아나(2)보다 많으므로 모든 조건이 성립합니다. 합 8 + 8 + 2 = 18은 보기 (D)입니다.
💡핵심 정리
두 사람의 나이가 같으면 그 나이가 곱에서 두 번 쓰이므로, 제곱이 그 수에 들어맞는 나이만 가능합니다.
- 나이에 이름 붙이기
- 조건에 맞는 쌍둥이 나이 나열하기
- 형이 더 많은 경우만 남기기
- 세 나이 더하기