AMC 10 · 2009 · #6
학년 5 algebra order-of-operationssystematic-enumeration systematic-enumeration ↑ 선수 지식: order-of-operations
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
정해진 식에 괄호를 넣어 어떤 연산을 먼저 하게 만들 수 있다. 그 식이 가질 수 있는 서로 다른 값의 개수를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
2
(B)
3
(C)
4
(D)
5
(E)
6
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기
'서로 다른 값이 몇 개인가'를 묻는 문제이므로, 가능한 모든 묶음을 나열해 각각 계산하는 것이 가장 확실하다(도구 #2). 네 수를 한 줄로 놓으면 괄호로 완전히 묶는 방법은 정확히 다섯 가지뿐이라, 추측 없이 전부 적을 만큼 작은 집합이다. 그다음 각 묶음은 짧은 계산 문제가 된다(도구 #7). 마지막으로 두 묶음이 같은 값이 될 수 있으므로, 도구 #3(가능성 지우기)으로 중복을 지워 서로 다른 값만 남긴다.
1STEP 1
괄호가 무엇을 정하는지 보기
괄호는 연산의 순서만 바꾼다.
2×3+4×5 → 5가지 묶음
괄호는 숫자를 옮기지 않고 어떤 연산을 먼저 할지만 고르므로, 묶음을 나열하면 가능한 모든 결과를 나열하는 셈이다.
괄호는 수를 옮기지 않는다. 어느 연산을 먼저 할지 고를 뿐이다.
▸ 왜?
곱 안에서 인수를 다시 묶어도 아무것도 달라지지 않으므로, 연산이 섞여야만 묶는 방식이 중요해진다.
곱셈의 결합법칙세 수를 곱할 때 어느 둘을 먼저 묶든 곱은 같다.
▸ 왜?
합에 걸린 곱셈은 모든 항에 닿으므로, 합이 어느 쪽에 놓이느냐가 결과를 바꾼다.
분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
2STEP 2
다섯 가지 묶음 적기
가능한 묶음은 정확히 다섯이다.
((2×3)+4)×5, (2×(3+4))×5, (2×3)+(4×5), 2×((3+4)×5), 2×(3+(4×5))
각 묶음을 하나의 식으로 적으면, 막연한 '괄호를 넣어 보기'가 계산할 다섯 개의 확정된 목록으로 바뀐다.
5.OA.A.2Make A Systematic List3STEP 3
각 묶음 계산하기
각각을 계산하면 수가 하나씩 나온다.
50, 70, 26, 70, 46
괄호 안을 먼저 계산하는 것은 바로 괄호가 시키는 그대로다.
5.OA.A.1Identify Subproblems4STEP 4
서로 다른 값 세기
둘이 겹쳐서 개수는 4, 보기 (C).
{50,70,26,70,46}→{26,46,50,70}→ 4 (C)
'서로 다른 값'은 각 수를 한 번씩만 세라는 뜻이므로, 같은 결과는 세기 전에 하나로 합쳐야 한다.
5.OA.A.1Eliminate Possibilities정답
4
두 곱셈 2×3과 4×5는 묶는 방식에 따라 강제되거나 미뤄질 수 있다. 가장 작은 결과는 두 곱셈을 먼저 하는 26이고, 가장 큰 결과는 + 를 안쪽에 넣어 모두 곱해지게 하는 70이다. 살아남은 네 값 26,46,50,70은 모두 그 범위 안에 있고 분명히 서로 다르므로, 4는 타당하며 선택지 (C)와 일치한다.
💡핵심 정리
괄호는 어떤 연산을 먼저 할지만 바꾸므로, 모든 묶음을 나열해 각각 계산하고 실제로 서로 다른 값만 세면 된다.
- 괄호가 무엇을 정하는지 보기
- 다섯 가지 묶음 적기
- 각 묶음 계산하기
- 서로 다른 값 세기