AMC 10 · 2010 · #10
학년 8 algebra답을 골라 클릭하세요.
문제는 p와 q에는 이름을 붙여 주었지만, 정작 답이 달린 양인 공차는 숨겨 두었다. 그것을 세 번째 변수 d로 도입하면 '등차'라는 한 단어가 곧바로 방정식으로 바뀐다. 두 항 3p - q와 3p + q는 같은 짝에서 만들어졌으므로 그 간격은 보자마자 2q로 줄어들고, 이 패턴이 d를 거의 공짜로 넘겨준다. p, q, d를 알고 나면 수열을 '한 걸음씩 더하는 규칙'에서 'n번째 항을 바로 주는 식'으로 다시 정리한다. 2010번째 항으로 건너뛰려면 그 형태가 필요하다. 보기를 이용한 가능성 지우기를 마지막에 둔 것은 의도적이다. 최종 점검으로는 쓸모가 있지만, 검토에서 보듯이 문제가 말한 적 없는 것을 슬쩍 가정하기 때문이다.
공차에 이름 붙이기
이웃한 모든 쌍이 하나의 간격을 공유한다.
등차라는 말은 사실 간격에 대한 진술이므로, 간격에 이름을 붙이면 설명이 방정식으로 바뀐다.
6.EE.B.6Introduce A Variable마지막 두 항이 d를 알려 준다
마지막 두 항이 간격을 바로 넘겨준다.
어떤 수에서 q를 뺀 것과 더한 것은, 그 어떤 수가 무엇이든 항상 정확히 2q만큼 차이가 난다.
어떤 값에서 간격을 뺀 것과 더한 것으로 적힌 짝은, 그 값이 무엇이든 간격의 두 배만큼 차이 난다.
▸ 왜?
공통된 가운데 값이 뺄셈에서 지워지고 두 간격만 남는다.
▸ 왜?
등차수열은 이웃한 항의 간격이 같다는 것으로 정의되므로, 그 간격이 가정 전부다.
나머지 두 간격을 방정식으로 바꾸기
나머지 간격이 두 개의 단순한 방정식이 된다.
같은 간격 하나가 방정식 하나에 해당하고, 미지수 두 개에 방정식 두 개면 p와 q를 정확히 결정하기에 딱 충분하다.
8.EE.C.8Introduce A Variable두 방정식 풀기
풀면 첫 항이 5, 간격이 4다.
대입하면 미지수 두 개짜리 문제가 미지수 하나짜리 방정식으로 줄어들고, 그 결과 가능한 쌍은 정확히 하나만 남는다.
8.EE.C.8Introduce A Variable그런 수열이 실제로 있는지 확인하기
첫 항들이 실제로 4씩 나아간다.
방정식을 푸는 것은 값이 무엇이어야 하는지를 말해 줄 뿐이고, 되돌려 넣어 보는 것이 그 값이 실제로 통한다는 증명이다.
4.OA.C.5Look For A Patternn번째 항을 바로 주는 식 만들기
이천 개의 항을 나열하는 것보다 식이 낫다.
n번째 항에 도달하는 데 드는 간격은 n번이 아니라 n - 1번이다. 첫째 항은 간격을 하나도 건너기 전에 이미 있기 때문이다.
8.F.B.4Organize Information In More Waysn = 2010을 대입하기
식이 8041을 준다, 보기 (A).
바로 주는 식이 있으면 2009번 더하는 대신 곱셈 한 번으로 2010번째 항에 내려앉을 수 있다.
5.NBT.B.5Organize Information In More Ways매번 같은 수를 더하는 수열에서는 먼저 그 더하는 수에 이름을 붙이고, 간격을 조심히 세라. 2010번째 항은 출발점에서 간격 2010개가 아니라 2009개 뒤에 있다.
- 공차에 이름 붙이기
- 마지막 두 항이 d를 알려 준다
- 나머지 두 간격을 방정식으로 바꾸기
- 두 방정식 풀기
- 그런 수열이 실제로 있는지 확인하기
- n번째 항을 바로 주는 식 만들기
- n = 2010을 대입하기