AMC 10 · 2010 · #11
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
도구 #11 (거꾸로 풀기): 요구된 꼴 자체가 진짜 지시문이다. 로그는 결국 지수이므로 x = log_b 7⁷은 b^x = 7⁷과 같은 말이고, 따라서 방정식을 어떤 모양으로 밀어붙여야 하는지가 정해진다. 한쪽은 지수가 x인 거듭제곱 하나, 다른 쪽은 7⁷ 하나로 만들면 그때 나오는 밑이 곧 답이다. 도구 #15 (다르게 정리하기): 주어진 식에는 x가 두 군데, 7이 두 가지 역할로 들어 있으므로 거듭제곱을 다시 묶는다. 7^x+7을 쪼개고 7^x으로 나누어 모든 x가 하나의 거듭제곱 안에 모이게 한다. 도구 #3 (가능성 지우기): 밑의 후보가 다섯 개 제시되어 있으므로, 밑이 하나로 강제되는지 즉 같은 x를 주는 다른 밑이 없는지를 확인한다. 이 논증 하나로 나머지 네 선택지가 한꺼번에 지워진다.
요구된 꼴을 방정식으로 바꾸기
요구된 꼴은 그저 지수 형태의 진술이다.
로그는 이름만 바꾼 지수이므로, 답의 꼴은 숨어 있는 지수방정식이다.
11.F-LE.A.4Work Backwards왼쪽에서 상수를 떼어내기
더해진 7이 상수 인수로 떨어져 나온다.
지수에서의 덧셈은 값에서의 곱셈이므로, 위쪽의 합은 곱으로 갈라진다.
지수에서 더하는 것은 값에서 곱하는 것이므로, 위쪽의 합은 곱으로 갈라진다.
▸ 왜?
지수는 인수를 몇 번 쓰는지를 세므로, 횟수를 합치는 것은 인수를 합치는 것이다.
▸ 왜?
상수 조각이 떨어져 나오면, 그것이 남은 전체에 하나의 인수로 곱해진다.
모든 x를 하나의 거듭제곱으로 모으기
나누면 모든 미지수가 하나의 거듭제곱으로 모인다.
지수가 같은 두 거듭제곱은 밑끼리 나누어 하나의 거듭제곱으로 합칠 수 있다.
9.A-SSE.A.2Organize Information In More Waysx가 정확히 하나임을 확인하기
그 거듭제곱은 증가하므로 해가 유일하다.
밑이 1보다 큰 지수함수는 같은 값을 두 번 지나지 않고 계속 올라가므로 7⁷을 단 한 번만 만난다.
9.F-IF.A.1Eliminate Possibilities밑이 하나로 강제됨을 보이고 답 읽기
두 꼴을 맞추면 밑이 8/7로 정해진다.
로그 안이 7⁷로 못박혀 있으면 밑과 결과값은 일대일로 함께 움직이므로 두 번째 밑이 존재할 자리가 없다.
11.F-IF.C.8Eliminate Possibilities로그는 모습을 바꾼 지수이므로 x = log_b 7⁷을 b^x = 7⁷으로 읽고, 방정식을 그 모양에 맞을 때까지 고쳐 쓰면 밑이 훤히 드러난다.
- 요구된 꼴을 방정식으로 바꾸기
- 왼쪽에서 상수를 떼어내기
- 모든 x를 하나의 거듭제곱으로 모으기
- x가 정확히 하나임을 확인하기
- 밑이 하나로 강제됨을 보이고 답 읽기