AMC 10 · 2010 · #13

학년 9 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

symmetric-polynomialssystems-of-equationssign-analysis convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

원과 쌍곡선이 같은 정수 하나에 함께 달려 있다. 둘이 만나지 않게 하는 값의 개수를 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

도구 #15 (다르게 정리하기): x와 y를 따로 쫓으면 지저분한 사차식이 나오지만, 주어진 식에는 x²+y²과 xy밖에 없고 이 둘은 정확히 (x+y)²과 (x-y)²의 재료다. 그래서 합과 차를 중심으로 다시 묶으면 연립식 전체가 두 개의 제곱으로 접힌다. 도구 #3 (가능성 지우기): 실수의 제곱은 음수가 될 수 없다는 사실로 일부 k를 지운다. 도구 #11 (거꾸로 풀기): 지우기만으로는 어떤 k가 불가능한지만 알 뿐이므로, 살아남은 k가 정말로 교점을 갖는지 확인하려면 치환을 거꾸로 돌려 그 점을 직접 만들어야 한다. 도구 #16 (관점 바꾸기): 문제는 만나지 않는 경우를 묻고 있으니, 먼저 만나는 경우를 정확히 서술한 뒤 그 나머지를 취한다.

1STEP 1

두 개의 완전제곱으로 다시 묶기

더하고 빼면 두 개의 완전 제곱이 된다.

(x+y)² = k²+2k, (x-y)² = k²-2k

2STEP 2

실수의 제곱은 음수가 될 수 없다

실수의 제곱은 결코 음수가 아니다.

k²+2k ≥ 0 그리고 k²-2k ≥ 0

3STEP 3

그 두 조건은 충분조건이기도 하다

그 조건은 공유하는 점을 다시 만들어 준다.

x=(u+v)/2, y=(u-v)/2 ⟹ xy=(u²-v²)/4=k, x²+y²=(u²+v²)/2=k²

4STEP 4

두 부호 조건을 풀기

둘 다 풀면 값의 좁은 틈이 남는다.

k(k+2) ≥ 0 ⇔ k ≤ -2 또는 k ≥ 0; k(k-2) ≥ 0 ⇔ k ≤ 0 또는 k ≥ 2

5STEP 5

남겨진 정수 세기

정확히 2개의 정수가 거기 들어간다, 보기 (C).

Z ∖ ({k ≤ -2}∪{0}∪{k ≥ 2})={-1, 1} → (C) 2

정답

답 전체가 틈이 어디서 시작하는지에 달려 있으므로 경계값을 직접 확인한다. k=2일 때 x=y=√2를 넣으면 x²+y²=4=2², xy=2이므로 만난다. k=-2일 때 x=√2, y=-√2를 넣으면 4와 -2가 되어 역시 만난다. k=3일 때는 3단계의 구성으로 u=√(15), v=√3, x≈ 2.803, y≈ 1.070을 얻고 실제로 xy≈ 3, x²+y²≈ 9이다. 즉 실패는 정말로 ±1에서 멈춘다. 크기 감각으로도 맞다. 원 x²+y²=k²의 반지름 |k|는 k에 비례해 커지는 반면, xy=k에서 원점에 가장 가까운 점은 √(2|k|) 정도로만 밀려나므로 |k|가 크면 반드시 만나고 가장 작은 크기에서만 어긋날 수 있다. 선택지 4나 8은 k=±1 바깥에도 실패가 있어야 하는데 부호 분석이 이를 막고, 선택지 0은 k=1이 성립해야 하는데 음수 제곱이 이를 막는다. 따라서 2, 즉 (C)가 맞다.

💡핵심 정리

식에 x²+y²과 xy만 보이면 (x+y)²과 (x-y)²으로 다시 세우고, 남은 조건이 성립해야 한다는 것에 그치지 말고 그 조건이 교점을 실제로 만들어 낸다는 것까지 보여라.

두 개의 완전제곱으로 다시 묶기
실수의 제곱은 음수가 될 수 없다
그 두 조건은 충분조건이기도 하다
두 부호 조건을 풀기
남겨진 정수 세기

두 개의 완전제곱으로 다시 묶기

실수의 제곱은 음수가 될 수 없다

그 두 조건은 충분조건이기도 하다

두 부호 조건을 풀기

남겨진 정수 세기

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