AMC 10 · 2010 · #14
학년 7 geometry-2dnumber-theory답을 골라 클릭하세요.
도구 #4(변수 도입하기): 각의 이등분선 정리에 의해 AB와 BC는 3:8이라는 고정된 비가 되므로, 하나의 정수 배수 k로 두 변을 한꺼번에 나타내면 문제 전체가 변수 하나로 정리된다. 도구 #1(그림 그리기): 이등분선을 그려 두면 AC의 두 조각이 헷갈리지 않고 CA = 11이 고정되는 이유가 보인다. 도구 #3(가능성 지우기): 삼각부등식이 k에 대한 두 부등식이 되어 하나를 뺀 모든 값을 지워 버린다. 도구 #14(극단의 원리): 가장 작은 둘레를 물으므로 성립하는 k 중 가장 작은 값을 찾는다.
두 조각으로 밑변 AC를 고정하기
두 조각을 더하면 밑변이 11이다.
꼭짓점에서 그은 이등분선은 항상 맞은편 변에 닿으므로 두 조각은 그 변으로 그대로 합쳐진다.
7.G.A.2Draw A Diagram각의 이등분선 정리로 비를 얻기
이등분선이 그 나눔을 변의 비로 바꾼다.
이등분선은 그 꼭짓점에 붙은 두 변의 비와 같은 비율로 맞은편 변을 나눈다.
이등분선은 마주 보는 변을 그 꼭짓점을 감싼 두 변과 같은 비로 나눈다.
▸ 왜?
두 조각은 한 직선 위 같은 꼭짓점 아래에 있으므로, 넓이가 밑변의 비를 이룬다.
▸ 왜?
이등분선은 양쪽에 같은 각을 만들므로, 두 삼각형은 크기만 다른 복사본이고 변이 하나의 비를 따른다.
정수 배수 하나로 두 변을 나타내기
정수 배수 하나가 나머지 두 변을 이름 짓는다.
비가 이미 기약 상태이면, 그 비를 유지하는 정수 쌍은 두 수의 같은 배수뿐이다.
6.NS.B.4Introduce A Variable삼각부등식으로 k를 한 값으로 못박기
삼각부등식이 그 배수를 2로 못박는다.
두 부등식이 k를 양쪽에서 조여, 오직 하나의 정수만 남긴다.
7.EE.B.4Eliminate Possibilities세 변을 더해 가장 작은 둘레 구하기
세 변을 더하면 33, 보기 (B).
성립하는 가장 작은 k가 정해지면, 세 변을 더한 값이 바로 가장 작은 둘레가 된다.
7.EE.B.3Extreme Principle각의 이등분선은 그 꼭짓점의 두 변과 같은 비로 맞은편 변을 나누므로, 변을 같은 배수로 이름 붙인 뒤 삼각부등식으로 맞는 값 하나만 남기면 된다.
- 두 조각으로 밑변 AC를 고정하기
- 각의 이등분선 정리로 비를 얻기
- 정수 배수 하나로 두 변을 나타내기
- 삼각부등식으로 k를 한 값으로 못박기
- 세 변을 더해 가장 작은 둘레 구하기