AMC 10 · 2010 · #15

학년 9 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count

probability-basiccombinations-basicquadratic-equationscompleting-the-square convert-to-algebrasymmetry-argument ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

치우친 동전을 네 번 던져 앞뒤가 똑같이 나올 확률이 알려진 작은 값이다. 앞면이 나올 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\sqrt{15}-3}{6}$

(B)

$\frac{6-\sqrt{6\sqrt{6}+2}}{12}$

(C)

$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$

(D)

$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$

(E)

$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

도구 #4 (변수 도입하기): 이 동전을 설명하는 값이 바로 구해야 하는 값 하나뿐이므로, 그것을 p라 놓고 뒷면을 1-p로 쓰면 문제 전체가 문자 하나 위에 올라간다. 도구 #13 (대수로 바꾸기): "똑같이 나뉠 확률이 1/6"이라는 문장은 똑같이 나뉘는 경우가 몇 가지인지 세는 순간 하나의 방정식이 된다. 도구 #15 (다르게 정리하기): 이 방정식에는 p 하나만 나오는 자리가 없고 항상 곱 p(1-p)만 나오므로, p를 1/2보다 얼마나 아래인지로 다시 재면 그 곱이 제곱의 차가 되어 제곱근이 한 줄에 떨어진다. 도구 #3 (가능성 지우기): 제곱근을 취하면 ±가 생기는데, p와 1-p가 모두 양수라는 사실이 한쪽을 지운다. 도구 #14 (극단의 원리): 계산을 믿기 전에 p(1-p)가 도달할 수 있는 가장 큰 값을 확인하면, 그런 동전이 실제로 존재한다는 것과 p ＜ 1/2인 동전은 오직 하나뿐이라는 것이 증명된다.

1STEP 1

앞면 확률에 이름 붙이기

똑같이 나뉘는 한 경우의 확률은 양쪽 면으로 만들어진다.

P(HHTT) = p · p · (1-p) · (1-p) = p²(1-p)²

2STEP 2

똑같이 나뉘는 경우를 세고 방정식 만들기

네 번 던지면 그런 경우가 여섯이다.

6p²(1-p)² = 1/6

3STEP 3

두 개의 제곱을 하나로 묶기

두 제곱이 하나의 제곱으로 접힌다.

6(p(1-p))² = 1/6 ⟹ (p(1-p))² = 1/36

4STEP 4

제곱근을 취하고 불가능한 부호 지우기

치우침이 음의 근을 지운다.

p(1-p) = ±1/6, 0 ＜ p ＜ 1/2 → p(1-p) ＞ 0 ⟹ p(1-p) = 1/6

5STEP 5

그런 동전이 존재하고 하나뿐임을 확인하기

그런 동전이 존재하고, 하나뿐이다.

p(1-p) = 1/4 - (p-1/2)² ↑ on [0,1/2]; 0 ＜ 1/6 ＜ 3/8

6STEP 6

p를 1/2에서 재어 마무리하기

2분의 1에서 재면 마무리된다, 보기 (D).

1/4 - d² = 1/6 → d² = 1/12 → d = √(3)/6 → p = 1/2 - √(3)/6 = (3-√(3))/6 → (D)

정답

(3-√(3))/6

소수가 아니라 정확한 값으로 대입해서 확인하자. p = (3-√(3))/6이면 1-p = (3+√(3))/6이므로 p(1-p) = (3-√(3))(3+√(3))/36 = (9-3)/36 = 1/6이고, 따라서 6p²(1-p)² = 6(1/6)² = 1/6으로 주어진 확률과 정확히 일치한다. 또 p = (3-√(3))/6 ≈ 0.2113 ＜ 1/2이므로 조건을 만족하고, 0과 1 사이에 있으므로 확률로서도 정상이다. 함정이 두 가지 있다. 첫째, 거울에 비친 값 (3+√(3))/6 ≈ 0.7887도 이 확률 방정식을 똑같이 만족한다. 같은 정도로 앞면 쪽으로 치우친 동전은 똑같은 "똑같이 나뉠 확률"을 만들기 때문이다. 문제가 굳이 "1/2보다 작다"고 말한 이유가 바로 이것이다. 그 조건은 장식이 아니라 둘 중 하나를 고르는 기준이다. 둘째, 선택지 (C) (√(2)-1)/2 ≈ 0.2071은 실제 값과 0.004밖에 차이가 나지 않아서, 소수점 두 자리까지만 확인해서는 (C)와 (D)를 구별할 수 없다. 정확히 확인해 보면 (C)의 경우 p(1-p) = (4√(2)-5)/4 ≈ 0.16421이고 6(0.16421)² ≈ 0.1618 ≠ 1/6 ≈ 0.16667로 어긋난다. 소수가 아니라 근호 그대로 계산하는 것이 두 선택지를 갈라 놓는다.

💡핵심 정리

방정식이 언제나 p 곱하기 1-p 형태로만 나온다면 p를 쫓지 말고 그것이 1/2에서 얼마나 떨어져 있는지를 쫓아라. 그 곱은 1/4에서 그 거리의 제곱을 뺀 꼴이 되고, 제곱근 한 번이면 끝난다.

앞면 확률에 이름 붙이기
똑같이 나뉘는 경우를 세고 방정식 만들기
두 개의 제곱을 하나로 묶기
제곱근을 취하고 불가능한 부호 지우기
그런 동전이 존재하고 하나뿐임을 확인하기
p를 1/2에서 재어 마무리하기