AMC 10 · 2010 · #19

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

probability-basictelescoping-sumconditional-probability bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

상자를 차례로 하나씩 뽑다가 빨간 구슬이 처음 나오면 멈춘다. 확률이 아주 작아지는 가장 이른 멈춤을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

201

(E)

1005

풀이 과정

전략 패턴 찾기

도구 #5 (패턴 찾기): P(n)을 분수들의 곱으로 쓰면 분자와 분모가 사슬처럼 차례로 지워지면서, 무서워 보이던 곱이 아주 작은 식 1/(n(n+1))로 접힌다는 점이 문제의 핵심이다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): n번 상자에서 멈추는 것은 상자마다 하나씩의 조건 — 흰, 흰, ..., 흰, 그다음 빨강 — 이므로 각 상자의 확률을 따로 구해 곱한다. 도구 #6 (추측하고 확인하기): P(n)=1/(n(n+1))이 되면 조건은 n(n+1) ＞ 2010이 되고, √(2010) 근처의 n 값을 넣어 처음으로 부등식이 성립하는 곳을 찾는 것이 가장 빠르다.

1STEP 1

한 상자의 두 확률

한 상자가 두 확률을 바로 준다.

P(상자 k에서 흰색)=k/(k+1), P(상자 k에서 빨강)=1/(k+1)

2STEP 2

n번 상자에서 멈추려면

늦게 멈춤은 앞선 상자를 모두 지나쳤다는 뜻이다.

P(n)=(1/2·2/3·3/4…(n-1)/n)·1/(n+1)

3STEP 3

곱이 사슬처럼 지워진다

긴 곱이 하나의 분수로 무너진다.

1/2·2/3·3/4…(n-1)/n=1/n

4STEP 4

P(n)의 깔끔한 식

그러면 깔끔한 식 하나가 남는다.

P(n)=1/n·1/(n+1)=1/(n(n+1))

5STEP 5

목표를 부등식으로 바꾸기

목표가 단순한 곱의 부등식이 된다.

1/(n(n+1)) ＜ 1/2010⇔ n(n+1) ＞ 2010

6STEP 6

성립하는 가장 작은 n 찾기

이웃한 값을 확인하면 45, 보기 (A).

44 · 45=1980 ≯ 2010, 45 · 46=2070 ＞ 2010 → n=45 (A)

정답

식 P(n)=1/(n(n+1))은 빠른 점검을 통과한다. P(1)=1/2인데 1번 상자는 절반이 빨강이므로 맞고, Σ_n 1/(n(n+1))=Σ_n(1/n-1/(n+1))이 1로 사슬처럼 수렴하니 온전한 확률분포답다. 경계 n(n+1) ＞ 2010은 √(2010)≈ 44.8 바로 근처에 있으므로, 45쯤의 답이 정확히 기대되는 값이다. 더 큰 선택지 63, 64, 201, 1005는 각각 n(n+1)이 2010을 훨씬 넘어야 해서 지나치게 크고, 44는 1980으로 아슬아슬하게 못 미친다. 그러므로 45가 맞다.

💡핵심 정리

멈출 확률을 분수의 곱으로 쓰고 가운데가 1/(n(n+1))로 지워지는 것을 지켜보면, 문제 전체가 'n(n+1)이 언제 2010을 넘는가?'로 바뀐다.

한 상자의 두 확률
n번 상자에서 멈추려면
곱이 사슬처럼 지워진다
P(n)의 깔끔한 식
목표를 부등식으로 바꾸기
성립하는 가장 작은 n 찾기