AMC 10 · 2010 · #20
학년 6 number-theoryalgebra답을 골라 클릭하세요.
도구 #4 (변수 도입하기): 두 수열 모두 1에서 시작하므로 걸음 크기 x와 y에 이 문제의 자유도가 전부 담긴다. 그러면 a_n과 b_n은 1+(n-1)x와 1+(n-1)y가 되고, 이 꼴은 날카로운 사실 하나를 말해 준다. 어느 n번째 항이든 1을 빼면 n-1의 배수가 된다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기): 2010을 두 수의 곱으로 쪼개는 방법은 몇 가지뿐이므로, 모든 쪼갬을 적어 놓고 양쪽에서 1씩 뺀 뒤 두 수를 동시에 나눌 수 있는 가장 큰 n-1을 읽어 내면 된다. 도구 #14 (극단의 원리): 최댓값을 묻는 문제이므로 두 가지가 따로 필요하다. 아무도 넘을 수 없는 천장과, 그 천장에 실제로 닿는 수열 하나다. 나열이 천장을 주고, 수열을 직접 만드는 것이 그 천장에 닿음을 증명한다. 도구 #15 (다르게 정리하기): a_n과 b_n 대신 a_n-1과 b_n-1을 바라보는 순간 문제 전체가 열린다. 도구 #3 (가능성 지우기): 일곱 가지 쪼갬을 적어 놓고 하나씩 지워 나가는 것이, 천장을 짐작이 아니라 빈틈없는 결론으로 만든다.
두 걸음 크기에 이름 붙이기
두 걸음 크기가 두 수열을 모두 설명한다.
우리가 고를 수 있는 것은 두 걸음 크기뿐이므로, 수열에 관한 모든 사실은 x와 y에서 짜내야 한다.
6.EE.A.2Introduce A Variable1을 빼서 배수를 드러내기
1씩 내리면 공통 약수가 드러난다.
두 수열 모두 1을 지나가므로, 목표 수를 1만큼 내리면 걸음 크기와 딱 맞아떨어진다.
4.OA.B.4Organize Information In More Ways1 곱하기 2010 쪼갬 지우기
한쪽으로 치우친 쪼갬은 즉시 배제된다.
한 걸음에 최소 1씩은 반드시 움직여야 하는 수열이 n번째 항에서까지 1에 머물러 있을 수는 없다.
6.EE.B.5Extreme Principle2010의 약수 쌍 모두 나열하기
확인할 약수 쌍은 일곱 개뿐이다.
서로 다른 소수 네 개는 약수를 열여섯 개밖에 만들지 못하므로, 탐색 공간 전체를 손으로 적을 수 있다.
4.OA.B.4Make A Systematic List내린 쌍마다 최대공약수 구하기
가장 큰 공통 약수가 자리를 8로 제한한다.
내린 두 수는 걸음 수 n-1을 공약수로 반드시 가져야 하므로, 그 최대공약수가 n-1의 넘을 수 없는 천장이 된다.
밀린 두 값은 모두 걸음 수를 인수로 지녀야 하므로, 그 최대공약수가 걸음 수를 한정한다.
▸ 왜?
각 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 두 수가 공유할 수 있는 것은 먼저 정해져 있다.
▸ 왜?
어떤 값을 같은 정수 걸음으로 나누는 것은 나머지가 남지 않을 때에만 가능하다.
n = 8에 닿는 수열 만들기
실제 수열 한 쌍이 그 자리에 닿는다.
14와 133의 최대공약수가 7이라는 말은, 두 수 모두 7등분된 걸음으로 쪼갤 수 있다는 말 그 자체다.
4.OA.C.5Introduce A Variable빠뜨린 경우가 없는지 확인하기
빠뜨린 경우가 없으므로 8이 답이다, 보기 (C).
일곱 약수 쌍이 빠짐없는 전체 목록이므로, 그 전부를 확인하면 더 큰 n이 숨을 틈이 없다.
6.NS.B.4Eliminate Possibilities두 수열 모두 1에서 시작하므로, 2010의 약수 쌍에서 양쪽을 1씩 빼 보자. 그렇게 내린 쌍들에서 찾을 수 있는 가장 큰 공약수가 바로 수열이 걸을 수 있는 걸음 수다.
- 두 걸음 크기에 이름 붙이기
- 1을 빼서 배수를 드러내기
- 1 곱하기 2010 쪼갬 지우기
- 2010의 약수 쌍 모두 나열하기
- 내린 쌍마다 최대공약수 구하기
- n = 8에 닿는 수열 만들기
- 빠뜨린 경우가 없는지 확인하기