AMC 10 · 2010 · #21
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
도구 #16 (관점 바꾸기): 두 그래프를 나란히 비교하는 것은 번거로우므로, 곡선과 직선을 따로 보지 않고 오직 그 차 D(x)만 본다. 그러면 문제의 조건 전체가 다항식 하나에 대한 한 문장이 된다. 도구 #14 (극단의 원리): 만나는 점은 모두 D가 바닥값 0에 닿되 그 아래로는 결코 내려가지 않는 자리이고, 이 경계에서의 행동이 각 근을 중근으로 만든다. 그런 중근 셋이 6차를 정확히 다 써 버리므로 D는 어떤 삼차식의 제곱일 수밖에 없다. 도구 #4 (변수 도입하기): 그 삼차식을 x³-ux²+vx-w로 이름 붙이고 문자 그대로 한 번 제곱해 계수를 맞춘다. 미지수 a,b,c는 아래쪽 세 계수에만 영향을 주므로 위쪽 네 계수만으로 u,v,w가 정해진다. 도구 #3 (가능성 지우기): 마지막에 선택지들을 삼차식에 직접 넣어 보면 인수분해도 확인되고 나머지 네 선택지도 지워진다.
빼서 비교하기
빼면 비교가 하나의 부호 문제가 된다.
한 그래프가 다른 그래프 위에 있다는 것은 다항식 하나가 0 이상으로 머문다는 것과 같은 사실이다.
11.A-REI.D.11Change Focus Count The Complement닿는 근은 중근이다
모든 접점의 근은 중근이어야 한다.
0 아래로 내려갈 수 없는 그래프는 축에 닿을 뿐 가로지를 수 없고, 닿는 데는 늘 근 두 개가 든다.
0 아래로 내려갈 수 없는 그래프는 축에 닿을 수 있을 뿐 가로지를 수 없으며, 닿는 데는 근 두 개가 든다.
▸ 왜?
다항식은 인수가 0인 곳에서 0이 되며, 가로지른다는 것은 그 인수가 홀수 번 나타난다는 뜻이다.
▸ 왜?
인수가 홀수 개면 그곳에서 값의 부호가 바뀌는데, 음이 아니라는 조건이 그것을 막는다.
중근 셋이 6차를 꽉 채운다
중근 셋이 차수를 정확히 채운다.
6차에 닿는 곳 셋이 각각 둘씩이면 빈틈없이 딱 맞으므로, 인수분해에 숨을 것이 없다.
11.N-CN.C.9Extreme Principle삼차식을 문자로 제곱하기
따라서 차는 삼차식의 제곱이다.
일반식으로 한 번 전개하면 삼차식을 하나씩 시험해 볼 필요가 없어진다.
11.A-APR.C.4Introduce A Variable알려진 네 계수를 맞추기
알려진 네 계수가 그 삼차식을 정한다.
모르는 수들은 모두 다항식의 아래쪽에 앉아 있으므로, 위쪽 절반은 이미 다 알고 있는 셈이다.
9.A-SSE.A.2Introduce A Variable삼차식 인수분해하기
그것은 정수 근 셋으로 인수분해된다.
삼차식이 정해지고 나면 만나는 점은 그저 그 근일 뿐이다.
11.A-APR.B.3Introduce A Variable그림이 실제로 존재함을 확인하고 답 읽기
그중 가장 큰 것은 4, 보기 (A).
실제 예를 만들어 보이면 '후보는 이것뿐이다'가 '이것이 답이다'로 올라선다.
9.A-SSE.B.3Eliminate Possibilities결코 음수가 되지 않는 다항식은 0에 닿을 수만 있고 가로지를 수 없으므로 닿는 곳마다 중근이 되고, 그런 곳 셋이면 6차 다항식을 정확히 다 채워 그 다항식은 삼차식의 제곱일 수밖에 없다.
- 빼서 비교하기
- 닿는 근은 중근이다
- 중근 셋이 6차를 꽉 채운다
- 삼차식을 문자로 제곱하기
- 알려진 네 계수를 맞추기
- 삼차식 인수분해하기
- 그림이 실제로 존재함을 확인하고 답 읽기