AMC 10 · 2010 · #22

학년 7 algebra
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum
absolute-valueoptimizationtriangular-numbersweighted-average extreme-principle ↑ 선수 지식: absolute-value
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
절댓값을 길게 더한 식에서 항마다 가중치가 다르다. 가능한 가장 작은 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
49
(B)
50
(C)
51
(D)
52
(E)
53
풀이 과정
전략 극단의 원리

도구 #15 (다르게 정리하기): 모든 곱수가 양수이므로 |mx-1|=m|x-1/m|이고, 그러면 이 합은 x에서 119개의 표시된 점까지의 가중 거리의 총합이 된다. 이 그림은 답이 왼쪽 무게와 오른쪽 무게가 균형을 이루는 자리에 있음을 알려 준다. 도구 #14 (극단의 원리): 최솟값은 아래에서 조여야만 확정되는데, |t| ≥ t와 |t| ≥ -t를 함께 쓰면 모든 절댓값 기호를 유리한 방향으로 벗겨 정직한 바닥을 만들 수 있다. 도구 #4 (변수 도입하기): 부호 패턴을 딱 맞게 고르지 않으면 그 바닥에 여전히 x가 남으므로, 경계 지점을 k라 이름 붙이고 x를 지우는 k를 구한다. 도구 #13 (대수로 바꾸기): x가 사라지고 나면 그 하계는 +1과 -1의 개수를 세는 일이 된다. 도구 #11 (거꾸로 풀기): 바닥은 그 위에 무언가가 서 있어야 의미가 있으므로, 각 부등식을 거꾸로 돌려 모두 등호가 되는 x가 정확히 어떤 것인지 찾고, 그런 x 하나를 손으로 확인한다.

1STEP 1

합을 가중 거리로 읽기

그 합은 여러 점까지의 가중 거리다.

f(x)=Σ_m=1¹¹⁹|mx-1|=Σ_m=1¹¹⁹ m|x-1/m|, Σ_m=1¹¹⁹ m=(119 · 120)/2=7140
2STEP 2

절댓값 기호를 유리한 방향으로 벗기기

각 기호를 유리한 방향으로 벗길 수 있다.

|t| ≥ t 그리고 |t| ≥ -t ⟹ f(x) ≥ Σ_m=1^k(1-mx)+Σ_m=k+1¹¹⁹(mx-1) (모든 실수 x 에 대해)
3STEP 3

x를 지우는 경계 고르기

한 경계에서 변수가 사라진다.

Σ_m=k+1¹¹⁹ m-Σ_m=1^k m=0 ⇔ (k(k+1))/2=7140/2=3570 ⇔ k(k+1)=7140=84 · 85 ⇔ k=84
4STEP 4

남는 것 세기

남는 것은 단순한 개수다.

f(x) ≥ Σ_m=1⁸⁴(1-mx)+Σ_m=85¹¹⁹(mx-1) = 84-35+x (3570-3570) = 49
5STEP 5

49에 실제로 도달함을 보이기

구간 전체가 거기 닿으므로 49가 답이다.

x ≤ 1/84 이고 x ≥ 1/85 ⟹ f(x)=49 (모든 x∈[1/85,1/84] 에서); f (1/84)=83/2+0+15/2=49
정답
49
주장의 두 부분이 각각 따로 확립되었다. 단계 4에서 모든 실수 x에 대해 f(x) ≥ 49임을, 단계 5에서 f (1/84)=49임을 보였으므로, 최솟값이 어디에 있어야 한다는 어떤 가정에도 기대지 않는다. 수치로 찍어 본 값들도 일치하며 그래프의 모양을 보여 준다: f(0)=119와 f(1)=1+2+…+118=7021은 한참 위에 있고, f (1/50)=364/5=72.8, f (1/100)=257/5=51.4는 x가 구간에 가까워질수록 좁혀 온다. 바로 옆 점들은 아주 조금만 높다 — f (1/83)=4069/83≈ 49.02, f (1/86)=2108/43≈ 49.02 — 이는 평평한 바닥 양옆이 완만하게 올라가는 모습 그대로다. 반대쪽 끝점도 정확히 일치한다: f (1/85)=(84-3570/85)+(3485/85-34)=42+7=49이므로 구간 [1/85,1/84] 전체가 같은 높이에 놓인다. 49는 주어진 선택지 중 가장 작은 값이고 실제로 달성되므로, 더 작은 후보를 놓칠 여지는 없다.
💡핵심 정리

절댓값 여러 개의 합을 가장 작게 만들려면 항들을 무게가 같은 두 무리로 갈라 변수를 상쇄시켜라. 그리고 그 부호 선택을 전부 참으로 만드는 x를 실제로 찾아 증명을 마무리하라.

  • 합을 가중 거리로 읽기
  • 절댓값 기호를 유리한 방향으로 벗기기
  • x를 지우는 경계 고르기
  • 남는 것 세기
  • 49에 실제로 도달함을 보이기

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