AMC 10 · 2010 · #4

학년 8 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

absolute-valueexponentsexponential-functionorder-of-operations sign-analysiscasework ↑ 선수 지식: absolute-value

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

다섯 식 중 하나는 모든 음수 입력에 대해 양수여야 한다. 그 식을 찾아라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{x}{\left|x\right|}$

(B)

$-x^2$

(C)

$-2^x$

(D)

$-x^{-1}$

(E)

$\sqrt[3]{x}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

가장 먼저 떠오르는 방법은 x=-1 같은 수를 다섯 식에 모두 넣어 보는 것이다. 이 방법은 보기를 버릴 때는 정직하지만, 어느 하나를 뽑아 세울 수는 없다. 값 하나는 나머지 무한히 많은 음수에 대해 아무것도 말해 주지 않기 때문이다. 그래서 x의 값을 고르는 대신 x의 이름을 바꾼다. 모든 음수 x는 t ＞ 0인 x=-t로 쓸 수 있고, 이 치환 하나가 다섯 식을 전부 양수에 대한 질문으로 바꾸어 부호 규칙이 저절로 따라오게 만든다. 치환하기 전에 식을 어떻게 읽어야 하는지부터 확정한다. 거듭제곱 앞의 마이너스는 자리를 헷갈리기 쉽기 때문이다.

1STEP 1

"반드시"가 요구하는 것

받아들이려면 모든 입력에서 되어야 하고, 배제는 하나면 된다.

채택 ⇔ 모든 x ＜ 0 에서 P(x) ＞ 0; 탈락 ⇔ 어떤 x ＜ 0 에서 P(x) ≤ 0

2STEP 2

마이너스보다 거듭제곱을 먼저 읽기

마이너스보다 거듭제곱을 먼저 읽으면 오독을 막는다.

-x²=-(x²), -2^x=-(2^x), -x⁻¹=-(1/x)

3STEP 3

x ＜ 0을 t ＞ 0으로 바꾸기

양수 문자로 바꾸면 모든 부호가 보인다.

x=-t, t ＞ 0; { x : x ＜ 0 }={ -t : t ＞ 0 }

4STEP 4

(A)는 언제나 정확히 -1

첫 후보는 언제나 정확히 마이너스 1이다.

x/|x|=-t/(|-t|)=-t/t=-1 ＜ 0 (모든 t ＞ 0)

5STEP 5

(B): 마이너스는 바깥에 있다

둘째는 마이너스가 제곱 바깥에 있다.

-x²=-(-t)²=-t² ＜ 0 (모든 t ＞ 0)

6STEP 6

(C): 밑 2는 양수

셋째의 밑이 마이너스 앞에서 값을 양수로 유지한다.

-2^x=-2^-t=-1/2^t ＜ 0 (모든 t ＞ 0)

7STEP 7

(E): 세제곱근은 부호를 지킨다

세제곱근은 입력의 부호를 유지한다.

(∛(x))³=x ＜ 0 ⟹ ∛(x) ＜ 0, ∛(-t)=-∛(t)

8STEP 8

(D)가 언제나 양수인 이유

역수인 것만 양수로 뒤집힌다, 보기 (D).

-x⁻¹=-1/x=-1/-t=1/t ＞ 0 (모든 t ＞ 0)

정답

-x⁻¹

두 가지를 다시 볼 만하다. 첫째, 크기와 부호는 다른 문제다. -x⁻¹=1/|x|은 x가 왼쪽으로 갈수록 작아져서 x=-100에서는 겨우 0.01이다. 그러나 작은 것은 0이 아니고, 유한한 t에 대해 1/t은 결코 0에 닿지 않으므로 "양수"라는 조건은 충족된다. 둘째, 탈락한 네 식은 편리한 값 하나에서만이 아니라 모든 x ＜ 0에서 음수였고, 그래서 x=-1에서의 빠른 확인이 같은 곳을 가리킨 것이다. 다른 값으로 확인해도 마찬가지다. x=-1/4에서 값은 x/|x|=-1, -x²=-1/16, -2⁻¹/4≈-0.84, ∛(-1/4)≈-0.63, 그리고 -x⁻¹=4이다. 함정 보기들은 모두 한 걸음 일찍 멈춘 부호 논리다. (A)는 |x|가 부호를 고쳐 주기를 바라지만 그것은 분모만 고친다. (B)는 제곱이 이기기를 바라지만 마이너스가 그 뒤에 붙는다. (E)는 근호 안의 값이 음수라도 결과는 음수가 아니라는 습관을 빌려 오지만, 그것은 제곱근에서만 맞고 세제곱근에서는 틀린다.

💡핵심 정리

"반드시 양수"는 모든 음수 x에서 양수라는 뜻이므로, x를 t ＞ 0인 -t로 한 번만 바꿔 놓고 다섯 식의 부호를 한꺼번에 읽으면 된다.

"반드시"가 요구하는 것
마이너스보다 거듭제곱을 먼저 읽기
x ＜ 0을 t ＞ 0으로 바꾸기
(A)는 언제나 정확히 -1
(B): 마이너스는 바깥에 있다
(C): 밑 2는 양수
(E): 세제곱근은 부호를 지킨다
(D)가 언제나 양수인 이유