AMC 10 · 2010 · #5

모든 것을 좌우하는 낱말은 '보장'이다. 이 말은 남은 경기의 모든 진행을 한꺼번에 훑으므로 겉보기에는 경우의 수가 끝이 없다. 그래서 도구 #14(극단의 원리)가 주된 수단이다. 그 모든 경우를 가장 불리한 하나로 바꿔치기하는 것이다. 이 바꿔치기가 정당하다는 사실은 그냥 넘기지 말고 이유를 말해 둘 만하다. 두 선수의 최종 점수는 각각 독립적인 한 발 한 발의 합이므로, 첼시의 총점은 자유로운 발이 전부 자기 하한에 놓일 때 정확히 최소가 되고, 상대의 총점은 모든 발이 상한에 놓일 때 정확히 최대가 된다. 그다음 도구 #4(변수 도입하기)로 첼시의 알 수 없는 현재 점수에 이름을 붙여 비교를 적을 수 있게 하는데, 그 이름이 곧바로 소거되는 것도 보인다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 보장 조건을 n 에 대한 부등식 하나로 바꾼다. 대수만으로는 채워지지 않는 단계가 남는데, 바로 경계가 딱 맞는지이다. 종이 위에서 부등식이 깨지는 것만으로 어떤 n 을 배제하려면 그 깨지는 상황이 규칙상 실제로 가능해야 하므로, 도구 #14로 되돌아가 합법적인 점수로 그 상황을 직접 만든다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)은 정중앙을 더 쏘는 것이 결코 손해가 아니라는 사실을 써서 성립하는 n 들이 위쪽으로 끊김 없이 이어짐을 보인다. 그래야 '최솟값'이라는 말이 뜻을 가진다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 정중앙이 아닌 발을 세는 방식으로 검토 단계에서 독립적인 교차 확인을 맡는다.