AMC 10 · 2010 · #6
학년 4 number-theory place-valuedigit-sumsystematic-enumeration bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: place-value
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
세 자리 회문수에 작은 수를 더하면 네 자리 회문수가 된다. 원래 수의 자릿수 합을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
20
(B)
21
(C)
22
(D)
23
(E)
24
풀이 과정
전략 극단의 원리
핵심은 자릿수가 늘어나는 지점이다. 32만 더했는데 세 자리 수가 네 자리가 되려면 x는 세 자리 수의 맨 위쪽에 있어야 한다. 이 경계를 못 박으면 후보가 큰 회문수 몇 개로 줄고, 그다음에는 각각에 32를 더해 거꾸로 읽어도 같은지 직접 확인하면 된다.
1STEP 1
x를 맨 위쪽으로 몰기
자릿수가 늘어나 그 수가 맨 위 가까이 몰린다.
x+32 ≥ 1000 → x ≥ 968
작은 +32로 네 자리를 넘으려면 x가 이미 1000에 거의 가까워야 한다.
작은 수를 더해 네 자리가 되려면, 그 수가 이미 1000에 거의 닿아 있어야 한다.
▸ 왜?
자릿수는 그 수가 10의 거듭제곱으로 나뉜 어느 구간에 있는지로 정해진다.
자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
▸ 왜?
작은 수를 더해 넘을 수 있는 경계는 많아야 하나이므로, 범위가 좁게 한정된다.
부등호의 추이성첫째가 둘째보다 크고 둘째가 셋째보다 크면 첫째는 셋째보다 크다.
2STEP 2
그 구간의 회문수 나열
거기 사는 회문수는 넷뿐이다.
969, 979, 989, 999
이 구간에서는 첫 자리와 끝 자리가 같은 수만 회문수이다.
4.NBT.A.2Eliminate Possibilities3STEP 3
32를 더해 각각 확인
각각을 확인하면 되는 것이 정확히 하나다.
969+32=1001, 979+32=1011, 989+32=1021, 999+32=1031
남은 몇 개만 넣어 보면 대칭인 네 자리 수가 되는 것은 하나뿐이다.
4.NBT.B.4Guess And Check4STEP 4
x의 각 자리 숫자 더하기
자릿수를 더하면 24, 보기 (E).
9+6+9=24
묻는 것은 자릿수의 합이니, 찾은 수의 세 숫자를 더하기만 하면 된다.
4.NBT.B.4Guess And Check정답
24
찾은 수를 모든 조건에 맞춰 본다. 969는 세 자리 회문수이고 969+32=1001은 네 자리 회문수이므로 두 조건이 모두 성립한다. 자릿수 합 24는 가장 큰 보기인데, x가 999에 가깝게 몰려 숫자가 크기 때문에 자연스럽다. 보기 중 (E)만 가능하다.
💡핵심 정리
작은 덧셈이 수를 더 많은 자릿수로 밀어 올린다면, 시작한 수는 바로 그 경계에 딱 붙어 있으니 거기부터 찾아라.
- x를 맨 위쪽으로 몰기
- 그 구간의 회문수 나열
- 32를 더해 각각 확인
- x의 각 자리 숫자 더하기