AMC 10 · 2010 · #7

학년 8 geometry-3d
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Multiplicative Rate or Series
similar-figuresvolume-sphereratio-proportion dimensional-analysis ↑ 선수 지식: ratio-proportion
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
탑 모형은 실제 꼭대기 구가 담는 양의 아주 작은 일부만 담는다. 모형의 높이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0.04
(B)
$\frac{0.4}{\pi}$
(C)
0.4
(D)
$\frac{4}{\pi}$
(E)
4
풀이 과정
전략 단위 살펴보기

도구 #8(단위 살펴보기): 주어진 두 값은 부피(리터)인데, 답은 길이(미터)이다. 부피는 세 방향으로 공간을 재는 양이므로 길이의 세제곱처럼 커진다. 이 한 가지 사실이 부피의 비와 길이의 비를 이어주는 핵심이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 풀이는 세 개의 작은 일로 깔끔하게 나뉜다 — 부피의 비 구하기, 세제곱근을 취해 길이의 비 구하기, 그다음 높이 줄이기. 도구 #3(가능성 지우기): 100³이 정말 백만인지 거꾸로 확인하면 한 선택지를 확정하고 π로 만든 함정을 지울 수 있다.

1STEP 1

두 부피를 비교하기

용량이 백만 배 차이 난다.

100,000/0.1 = 1,000,000
2STEP 2

부피는 길이의 세제곱으로 커진다

부피는 길이의 세제곱으로 커진다.

k³ = 1,000,000
3STEP 3

세제곱을 되돌리기

세제곱을 되돌리면 길이 비가 100이다.

k = ∛(1,000,000) = 100
4STEP 4

높이 줄이기

높이를 줄이면 0.4 미터다.

40/100 = 0.4 m → (C)
5STEP 5

확인하고 나머지 지우기

다시 키우면 실제 용량이 나오므로 0.4가 맞다.

0.1 × 100³ = 0.1 × 1,000,000 = 100,000 ✓
정답
0.4
100³ = 1,000,000이 부피의 비와 일치하므로 길이 배율 100이 맞고, 거꾸로 되돌리면 100,000리터가 나오므로 배율이 옳다. 책상 위에 놓일 모형이 40 m 탑 옆에서 약 0.4 m 높이인 것도 합리적이다. 선택지 (A) 0.04는 백만을 잘못된 10³으로 보고 1000으로 나눈 실수, (E) 4는 10으로만 나눈 실수, (B)와 (D)는 비에서 약분되는 π를 잘못 남긴 것이다. 오직 (C) 0.4만 살아남는다.
💡핵심 정리

부피는 길이의 세제곱으로 커지므로, 부피가 백만 배면 길이는 겨우 백 배다: 40 ÷ 100 = 0.4 m.

  • 두 부피를 비교하기
  • 부피는 길이의 세제곱으로 커진다
  • 세제곱을 되돌리기
  • 높이 줄이기
  • 확인하고 나머지 지우기

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