AMC 10 · 2002 · #21

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Multiplicative Rate or Series

rateratio-proportion dimensional-analysis ↑ 선수 지식: rateratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

앤디의 잔디밭은 베스의 잔디밭보다 넓이가 두 배이고, 카를로스의 잔디밭보다 넓이가 세 배이다. 카를로스의 잔디깎이는 베스의 잔디깎이의 절반 속도로 깎고, 앤디의 잔디깎이의 3분의 1 속도로 깎는다. 세 사람이 동시에 각자의 잔디밭을 깎기 시작한다면, 누가 가장 먼저 다 깎겠는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \text{Andy}$

(B)

$\ \text{Beth}$

(C)

$\ \text{Carlos}$

(D)

$\ \text{Andy\ and \ Carlos\ tie\ for\ first.}$

(E)

$\ \text{All\ three\ tie.}$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 친구가 같은 시각에 각자 자기 잔디밭을 깎기 시작한다. 앤디의 잔디밭은 베스의 두 배이고 카를로스의 세 배이다. 카를로스의 잔디깎이는 베스의 절반 속도로, 앤디의 3분의 1 속도로 깎는다. 누가 가장 먼저 다 깎는지 정하라.

주어진 것: 앤디의 잔디밭 넓이는 베스의 두 배이다; 앤디의 잔디밭 넓이는 카를로스의 세 배이다; 카를로스의 깎는 속도는 베스의 절반이다; 카를로스의 깎는 속도는 앤디의 3분의 1이다; 세 사람은 동시에 깎기 시작한다; 선택지: (A) 앤디, (B) 베스, (C) 카를로스, (D) 앤디와 카를로스가 공동 1등, (E) 셋 다 동시

구하는 것: 누가 자기 잔디밭을 가장 먼저 다 깎는가

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #13 대수로 바꾸기

이 문제는 사실 비율(rate) 문제를 숨기고 있다. 도구 #8(단위 살펴보기)이 모든 것을 결정하는 하나의 관계를 준다: 깎는 속도는 단위 시간당 깎는 넓이이므로, 다 깎는 데 걸리는 시간 = 잔디밭 넓이 ÷ 깎는 속도. 잔디밭이 클수록 시간이 더 걸리고, 잔디깎이가 빠를수록 시간이 덜 걸린다. 비만 주어졌으므로 도구 #4(변수 도입하기)로 모든 비를 지키는 편리한 대리값을 정한다 — 앤디의 넓이를 2와 3의 공배수로, 카를로스의 속도를 기준 1로 잡는다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)이 각자의 '언제 끝나나?'를 나눗셈 한 번으로 바꾸고, 세 몫을 비교하면 승자가 나온다. 답이 원래 크기가 아니라 비에만 달려 있으므로 수를 골라 쓰는 것이 여기서는 정당하다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 1

넓이 비를 수로 바꾸기

앤디의 잔디밭은 베스의 두 배이자 카를로스의 세 배이므로, 앤디의 넓이는 $2$ 와 $3$ 의 공배수이다.
다른 넓이가 정수로 나오도록 앤디의 넓이를 $6$ 으로 잡는다.
그러면 베스의 넓이는 앤디의 절반인 $6 \div 2 = 3$, 카를로스의 넓이는 앤디의 3분의 1인 $6 \div 3 = 2$ 이다.

$$\text{넓이: } A = 6, \quad B = 3, \quad C = 2$$

💡 가장 큰 잔디밭을 두 비 수의 공배수로 고르면 모든 넓이가 정수로 남는다.

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 2

속도 비를 수로 바꾸기

카를로스가 가장 느린 잔디깎이이므로 그를 기준으로 삼는다: 카를로스의 속도를 $1$ 로 둔다.
카를로스는 베스의 절반 속도로 깎으므로 베스는 두 배 빠르게, 즉 베스의 속도는 $2$.
카를로스는 앤디의 3분의 1 속도로 깎으므로 앤디는 세 배 빠르게, 즉 앤디의 속도는 $3$ 이다.

$$\text{속도: } A = 3, \quad B = 2, \quad C = 1$$

💡 가장 느린 잔디깎이를 $1$ 로 고정하면 더 빠른 것들은 간단한 정수 배수가 된다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.2 단계 3

각자의 걸린 시간 계산하기

깎는 속도는 단위 시간당 깎는 넓이이므로, 잔디밭을 다 깎는 시간은 넓이를 속도로 나눈 값이다: $\text{시간} = \text{넓이} \div \text{속도}$.
앤디는 $6 \div 3 = 2$, 베스는 $3 \div 2 = 1.5$, 카를로스는 $2 \div 1 = 2$ 만에 끝낸다.

$$t_A = \dfrac{6}{3} = 2, \quad t_B = \dfrac{3}{2} = 1.5, \quad t_C = \dfrac{2}{1} = 2$$

💡 얼마나 많은 일을 얼마나 빠르게 하는지로 나누면 그 일이 얼마나 걸리는지 나온다.

#13 대수로 바꾸기 6.RP.A.3 단계 4

시간 비교하기

시간이 가장 적은 사람이 먼저 끝낸다.
앤디와 카를로스는 각각 $2$ 만큼의 시간이 걸리고, 베스는 $1.5$ 만 걸린다.
베스의 시간이 가장 적으므로 다른 두 사람보다 먼저 끝낸다 — 앤디와 카를로스는 서로 2등으로 비길 뿐이며, 이것이 선택지 (D) 의 함정이다.
가장 먼저 끝내는 사람은 베스, 즉 선택지 (B) 이다.

$$1.5 < 2 \ \Rightarrow \ \text{베스가 1등} \ \textbf{(B)}$$

💡 가장 적은 시간이 이기고, 중간 크기 잔디밭에 충분히 빠른 잔디깎이를 가진 베스가 더 크거나 더 느린 조합을 모두 이긴다.

[1] #4 6.RP.A.3 앤디의 잔디밭은 베스의 두 배이자 카를로스의 세 배이므로, 앤디의 넓이는 $2$ 와 $3$ 의 공배수이다. 다른 넓이가 정수로 나오도록 앤디의

[2] #4 6.RP.A.3 카를로스가 가장 느린 잔디깎이이므로 그를 기준으로 삼는다: 카를로스의 속도를 $1$ 로 둔다. 카를로스는 베스의 절반 속도로 깎으므로 베스는 두

[3] #8 6.RP.A.2 깎는 속도는 단위 시간당 깎는 넓이이므로, 잔디밭을 다 깎는 시간은 넓이를 속도로 나눈 값이다: $\text{시간} = \text{넓이} \di

[4] #13 6.RP.A.3 시간이 가장 적은 사람이 먼저 끝낸다. 앤디와 카를로스는 각각 $2$ 만큼의 시간이 걸리고, 베스는 $1.5$ 만 걸린다. 베스의 시간이 가장

검토

합리성 확인: 승자는 고른 수에 따라 달라지면 안 되므로, 비를 유지하는 다른 수 집합으로 시험한다. 앤디의 넓이를 $12$ 로 하면 베스는 $6$, 카를로스는 $4$. 카를로스의 속도를 $2$ 로 하면 베스는 $4$, 앤디는 $6$. 시간은 $t_A = 12 \div 6 = 2$, $t_B = 6 \div 4 = 1.5$, $t_C = 4 \div 2 = 2$. 같은 시간 세 값이 나오고 베스가 다시 1등이므로, 어떤 정당한 배율에도 선택지 (B) 가 흔들리지 않음을 확인한다.

대안 접근: 수를 쓰지 않고 비로 곧바로 추론한다. 카를로스를 기준으로, 앤디는 $3$ 배 큰 잔디밭을 $3$ 배 속도로 깎으므로 걸리는 시간이 같다 — 앤디와 카를로스는 항상 비긴다. 베스는 카를로스 넓이의 $\tfrac{3}{2}$ 배(앤디가 $6$ 일 때 카를로스는 $2$, 베스는 $3$)를 $2$ 배 속도로 깎으므로, 그의 시간은 카를로스 시간의 $\tfrac{3/2}{2} = \tfrac{3}{4}$ 이다. 카를로스 시간의 4분의 3은 카를로스(그리고 앤디)의 시간보다 적으므로 베스가 가장 먼저 끝낸다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비율 추론을 사용하여 실생활 및 수학 문제를 푼다 ('두 배', '절반 속도' 같은 비교를 일관된 넓이와 속도 집합으로 옮기고, 그 결과 나온 시간을 비교하여 승자를 정하는 데 사용.)
6.RP.A.2 단위 비율(unit rate)의 개념을 이해하고 비율 언어를 사용한다 (깎는 속도를 단위 시간당 넓이로 읽어 다 깎는 시간이 넓이를 속도로 나눈 값이 되도록 하는 데 사용.)

⭐ 어떤 일이 일정한 속도로 일어날 때, 시간은 일의 양을 속도로 나눈 값이다 — 그래서 충분히 빠른 도구로 하는 작은 일이 큰 일을 언제나 이길 수 있다.