AMC 10 · 2010 · #11
학년 7 probabilitynumber-theory probability-basicdivisibility-rulesdigit-decomposition casework ↑ 선수 지식: probability-basic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
네 자리 회문수를 무작위로 고른다. 그것이 7의 배수일 확률을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\dfrac{1}{10}$
(B)
$\dfrac{1}{9}$
(C)
$\dfrac{1}{7}$
(D)
$\dfrac{1}{6}$
(E)
$\dfrac{1}{5}$
풀이 과정
전략 변수 도입하기
자유롭게 정할 수 있는 두 자리 숫자에 이름을 붙이면 모든 회문수가 하나의 식으로 표현된다. 그 식은 두 부분으로 나뉘고, 각 부분이 7로 나누어떨어지는지 확인하는 편이 90개의 수를 하나씩 시험하는 것보다 훨씬 쉽다. 그다음 성공하는 경우를 세어 전체로 나누면 확률이 나온다.
1STEP 1
회문수를 숫자로 나타내기
두 숫자가 회문수 전체를 만든다.
abba = 1000a + 100b + 10b + a = 1001a + 110b
다이얼 두 개(a와 b)를 가진 식 하나가 90개의 회문수를 한꺼번에 대신한다.
6.EE.A.2Introduce A Variable2STEP 2
나누어떨어짐을 두 부분으로 쪼개기
바깥 계수는 이미 7을 인수로 갖는다.
1001 = 7 × 11 × 13 → 7 ∣ 1001a (모든 a 에 대해)
a 부분은 7에 대한 무사통과이므로 결과를 정하는 것은 오직 b 부분뿐이다.
바깥 자릿수는 그 자체로 7의 배수를 보태므로, 결과를 정하는 것은 안쪽 자릿수뿐이다.
▸ 왜?
회문수는 자릿수에 자리의 무게를 곱한 것이므로, 각 자릿수가 하나의 정해진 배수를 보탠다.
자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
▸ 왜?
이미 7의 배수인 부분은 나머지를 건드리지 않으므로, 다른 부분만이 중요하다.
배수 판정은 자리값에서 나온다10, 100, 1000이 나누는 수와 정해진 관계에 있어 특정 자리만 문제가 된다 — 끝 두 자리가 4를, 자릿수의 합이 3과 9를 정한다.
3STEP 3
어떤 안쪽 숫자가 되는지 찾기
따라서 되는 안쪽 숫자는 둘뿐이다.
110b ≡ 5b (mod 7), 5b ≡ 0 (mod 7) ⇔ b ∈ {0, 7}
중요한 것은 b의 나머지뿐이고, 7의 배수에 딱 맞는 숫자는 둘밖에 없다.
4.OA.B.4Make A Systematic List4STEP 4
성공 경우를 전체로 나누기
비는 1/5이다, 보기 (E).
(9 × 2)/(9 × 10) = 18/90 = 1/5
자유로운 바깥 숫자 곱하기 2개의 좋은 안쪽 숫자를 전체 90으로 나누면 깔끔하게 1/5이 된다.
7.SP.C.7Change Focus Count The Complement정답
1/5
1001이 이미 7이라는 인수를 품고 있으므로 나누어떨어짐은 오직 안쪽 숫자 b 하나에만 달려 있고, 그 10개 값 중 2개가 성공한다. 10분의 2의 확률은 1/5이고 이는 보기 (E)와 일치한다. 확인 검산도 통과한다: 7007(a=7, b=0) = 7 x 1001, 1771(a=1, b=7) = 7 x 253은 둘 다 7로 나누어떨어지는 회문수이다.
💡핵심 정리
1001이 이미 7의 배수라서 가운데 숫자만 결과를 정하고, 그 10개 중 2개가 성공하므로 확률은 1/5이다.
- 회문수를 숫자로 나타내기
- 나누어떨어짐을 두 부분으로 쪼개기
- 어떤 안쪽 숫자가 되는지 찾기
- 성공 경우를 전체로 나누기