AMC 10 · 2010 · #12

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

logarithm-propertiesexponentslinear-equations-one-var pattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: logarithm-properties

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

밑과 진수가 짝을 이루는 다섯 로그의 합이 정해진 값이다. 미지수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

256

(E)

1024

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

도구 #15(다르게 정리하기): 다섯 항이 서로 다른 문제처럼 보이는 이유는 표기가 다섯 가지로 제각각이기 때문일 뿐이다. 모든 밑은 2의 거듭제곱이고 모든 진수는 x의 거듭제곱이므로, 열 개의 수를 그렇게 다시 쓰면 항들이 하나의 공통 화폐 단위에 놓여 서로 비교할 수 있게 된다. 도구 #5(패턴 찾기): 그렇게 고쳐 쓰면 짝이 드러난다. 각 항에서 밑의 지수와 x의 지수가 같은 수이다. 문제가 기대는 것은 지수 1/2,1,2,3,4의 구체적인 값이 아니라 바로 이 반복되는 짝이다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): 밑변환을 다섯 번 따로 계산하는 대신, 밑과 진수를 같은 거듭제곱으로 올려도 로그 값은 변하지 않는다는 작은 일반 사실 하나를 증명하고 그것을 다섯 번 쓴다. 이 사실을 증명하면 지저분한 지수들이 왜 사라지는지도 함께 드러난다. 도구 #4(변수 도입하기): t=log₂x라고 이름 붙이면 좌변 전체가 5t가 되고, 문제는 일차방정식 한 줄로 줄어든다. 도구 #3(가능성 지우기): 정의역 조건이 계산을 시작하기 전에 양수가 아닌 x를 모두 걷어내고, 마지막에는 같은 방식의 확인이 틀린 보기 네 개를 한꺼번에 처리한다.

1STEP 1

허용되는 x부터 정하기

로그가 어떤 값이 허용되는지를 정한다.

√(x), log₂x 정의됨⇔ x ＞ 0; √(2), 2, 4, 8, 16 ＞ 0, ≠ 1

2STEP 2

모든 밑과 진수를 거듭제곱으로 쓰기

모든 밑과 진수가 2의 거듭제곱이다.

log₂¹/2x¹/2+log₂¹x¹+log₂²x²+log₂³x³+log₂⁴x⁴=40

3STEP 3

지수가 짝을 이루는 것 알아채기

모든 항에서 두 지수가 짝을 이룬다.

각 항 = log₂^kx^k, k∈{1/2, 1, 2, 3, 4}

4STEP 4

짝지은 지수가 상쇄됨을 증명하기

짝지은 지수는 완전히 상쇄된다.

b^t=y ⟹ (b^k)^t=b^tk=(b^t)^k=y^k ⟹ log_b^ky^k=t=log_by

5STEP 5

일차방정식 하나로 줄이기

같은 항 다섯이 하나의 일차방정식으로 줄어든다.

5t=40 ⟹ t=8, t=log₂x

6STEP 6

로그를 되돌리고 보기 정리하기

로그를 되돌리면 256, 보기 (D).

log₂x=8⇔ x=2⁸=256 (D)

정답

256

항등식을 전혀 쓰지 않고, 각 로그가 던지는 질문에 직접 답하는 방식으로 x=256을 원래 방정식에 넣어 확인한다. (√(2))⁸=2⁴=16=√(256)이므로 첫째 항은 8이다. 2⁸=256이므로 둘째 항은 8이다. 4⁸=2¹⁶=65536=256²이므로 셋째 항은 8이다. 8⁸=2²⁴=256³이므로 넷째 항은 8이다. 16⁸=2³²=256⁴이므로 다섯째 항은 8이다. 합은 5 × 8=40으로 요구와 정확히 일치한다. 충분성을 손으로 확인한 셈이다. 유일성도 성립하며, 그 이유는 앞의 계산과 무관하다. 다섯 밑이 모두 1보다 크므로 각 항은 (0,∞)에서 x에 대해 순증가하고, 순증가 함수들의 합은 순증가한다. 순증가 함수는 값 40을 많아야 한 번 취하므로, "그 x의 값"이라는 문제의 표현이 정당화된다. 틀린 보기들은 모두 지수가 3,4,5,10인 2의 거듭제곱이고 좌변이 5log₂x이므로 각각 15,20,25,50을 준다. 하나같이 log₂x의 개수를 잘못 셌을 때 도달하는 값이다. 예를 들어 항 하나를 빠뜨리면 4log₂x=40이 되어 1024를 가리킨다. 함정은 지수를 잘못 다루는 데 있지 않고 개수를 잘못 세는 데 있다.

💡핵심 정리

각 항은 밑과 진수를 같은 거듭제곱으로 올린 것이고 똑같이 올린 것은 언제나 상쇄되므로, 이 더미 전체는 결국 log₂x 다섯 개일 뿐이다.

허용되는 x부터 정하기
모든 밑과 진수를 거듭제곱으로 쓰기
지수가 짝을 이루는 것 알아채기
짝지은 지수가 상쇄됨을 증명하기
일차방정식 하나로 줄이기
로그를 되돌리고 보기 정리하기