AMC 10 · 2010 · #13
학년 11 algebrageometry-2d답을 골라 클릭하세요.
도구 #14 (극단의 원리): 이 방정식은 각각 최대 1까지밖에 못 가는 두 값의 합이 2가 되라고 요구한다. 즉 극단의 경우이고 어디에도 여유가 없으므로, 방정식 하나가 정확한 두 개의 조건으로 갈라진다. 도구 #3 (가능성 지우기): sinθ=1과 cosθ=1은 각각 해가 무한히 많으므로, 진짜 작업은 삼각형의 각 범위로 하나만 남기고 전부 지우는 일이다. 답의 유일성이 걸린 단계인데 그냥 넘어가기 쉽다. 도구 #4 (변수 도입하기): 정확한 두 조건을 얻고 나면 그것은 각 A, B에 대한 일차 연립방정식일 뿐이다. 도구 #11 (거꾸로 풀기): 부등식 논증은 그런 삼각형이 존재한다는 전제 아래에서만 각을 확정하므로, 각에서 삼각형을 다시 만들어 원래 식에 넣어 조건이 실제로 만족 가능한지 확인해야 한다. 도구 #1 (그림 그리기): 각을 다 알고 난 뒤 남은 위험은 변의 이름이고, BC를 AC와 혼동하지 않게 막아 주는 것이 이름을 붙인 그림이다.
두 항을 모두 최댓값으로 밀어붙이기
각 항이 저마다 최댓값에 있어야 한다.
각각 최대 1인 두 값이 합해서 2가 되는 길은 둘 다 정확히 1에 걸리는 것뿐이다.
각각 1을 넘지 못하는 두 양이 합쳐 2가 되려면, 둘 다 정확히 그 천장에 있어야 한다.
▸ 왜?
합은 두 부분을 더한 것이므로, 합이 최댓값에 고정되면 어느 부분도 모자랄 수 없다.
▸ 왜?
어느 한쪽이라도 천장 아래로 내려가면 합이 2 아래로 내려가는데, 식이 그것을 막는다.
각의 합이 A+B를 확정한다
각의 합이 한 각을 직각으로 만든다.
삼각함수 방정식은 각의 한 무리를 통째로 내놓지만, 삼각형이 가진 각의 예산이 그중 딱 하나만 남긴다.
10.G-CO.C.10Eliminate Possibilities같은 범위 논리로 2A-B도 확정한다
같은 범위 논리가 다른 식도 확정한다.
코사인은 한 바퀴를 다 돌아야 다시 1이 되는데, 이 각은 한 바퀴 근처에도 가지 못한다.
9.A-REI.B.3Eliminate Possibilities두 각에 대한 연립방정식 풀기
풀면 익숙한 30-60-90 모양이 나온다.
두 식을 더하면 한 줄 만에 B가 사라진다.
9.A-REI.C.6Introduce A Variable그런 삼각형이 실제로 있는지 확인하기
다시 넣으면 그 삼각형이 있음을 확인한다.
'반드시 이래야 한다'는 조건도 실은 불가능한 것을 가리킬 수 있으므로, 삼각형을 한 번 만들어 식이 맞아떨어지는지 눈으로 확인한다.
10.G-SRT.C.6Work Backwards변의 이름을 붙이고 BC를 재기
변을 재면 2, 보기 (C).
직각이 C에 있으니 C에 닿지 않는 유일한 변이 빗변이고, 가장 짧은 변은 30° 모서리를 마주 본다.
10.G-SRT.C.8Draw A Diagram각각 최대 1인 값들의 합이 2라면 그 값들은 모두 정확히 1이어야 하고, 그다음에는 삼각함수 방정식이 허용하는 무한한 해 중에서 삼각형 자신의 각 범위가 단 하나를 골라 준다.
- 두 항을 모두 최댓값으로 밀어붙이기
- 각의 합이 A+B를 확정한다
- 같은 범위 논리로 2A-B도 확정한다
- 두 각에 대한 연립방정식 풀기
- 그런 삼각형이 실제로 있는지 확인하기
- 변의 이름을 붙이고 BC를 재기