AMC 10 · 2010 · #14
학년 7 algebra답을 골라 클릭하세요.
도구 #14(극단의 원리): "최댓값을 가장 작게" 유형은 사실 두 개의 질문이 포개진 것이고, 그중 하나만 답하고 끝내는 것이 이 문제를 틀리는 전형적인 방식이다. 어떤 배치도 어떤 수보다 작아질 수 없음을 증명해야 하고, 그와 별개로 그 수에 실제로 도달하는 배치를 만들어야 한다. 도구 #4(변수 도입하기): M을 기호로 다루면 "가장 크다"는 말이 네 개의 부등식으로 바뀌고, 이 문제의 지렛대는 전부 거기에 있다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): 다섯 수에 0을 잠시 허용해 본다. 그 완화된 문제는 답이 깔끔하게 나오고, 두 문제를 비교하면 진짜 답이 정확히 어떤 가정 하나에 걸려 있는지가 드러난다. 그것은 "양의"라는 단어 하나뿐이다. 도구 #15(다르게 정리하기): 같은 총합 2010을 덩어리로 쪼개는 방법은 하나가 아니고, 모양이 다른 두 번째 분할은 첫 논증의 핵심 단계를 다시 쓰지 않고도 하한을 확인해 준다. 도구 #3(가능성 지우기): 보기 다섯 개는 {670, 671}과 {802, 803, 804} 두 무리로 갈라지고, 각 무리는 특정한 오독의 답이다. 그 오독의 정체를 지목하는 것은 찍기가 아니라 진짜 검산이다.
가장 큰 값을 네 개의 상한으로 바꾸기
최댓값이 네 개의 상한이 된다.
최댓값이 작다는 것은 그 아래의 모든 것이 하나도 빠짐없이 작다는 뜻이다.
6.EE.A.2Introduce A Variable조건 없는 문제를 먼저 풀기
양수 조건을 무시하면 첫 번째 낮은 추측이 나온다.
쉬운 사촌 문제를 먼저 풀고, 추가된 규칙이 얼마를 빼앗아 가는지 재어 본다.
4.OA.A.3Solve An Easier Related Problem양수 조건이 가운데 수를 눌러 준다
양수 조건이 가운데 수를 조인다.
골짜기마다 최소 한 칸이 들어가야 하는데, 그 한 칸은 이미 상한이 걸린 합 안에 갇혀 있다.
각 골짜기는 적어도 한 단위를 지녀야 하며, 그 한 단위는 이미 한정된 합 안에 갇혀 있다.
▸ 왜?
이웃한 합들은 같은 수로 이루어지므로, 어디엔가 쓰인 단위는 어디엔가 세어진다.
▸ 왜?
그 강제된 단위가 한정된 합을 밀어 올리므로, 가장 큰 값의 천장도 함께 올라가야 한다.
부등식을 M에 대해 풀기
부등식이 하한을 671로 올린다.
분수보다 커야 하는 정수는 다음 자연수까지 한 칸 뛰어오를 수밖에 없다.
6.NS.B.2Extreme Principle671에 도달하는 배치 만들기
실제 배치가 그 하한에 닿는다.
가장 작은 값이라는 주장에는 바닥과 그 바닥을 밟고 선 실제 예가 함께 필요하다.
4.NBT.B.4Extreme Principle하한을 다른 방법으로 다시 확인하기
다른 묶음으로도 같은 하한이 확인된다.
덩어리를 일부러 겹쳐서 한 수를 두 번 세면, 양수 조건이 여분의 한 칸을 내어 준다.
7.EE.B.4Organize Information In More Ways나머지 보기 지우기
따라서 답은 671, 보기 (B).
이웃끼리만 더하는 문제에서 총합을 고르게 펴는 것은 잘못된 직관이다.
6.EE.B.8Eliminate Possibilities이웃끼리만 더하므로 이기는 모양은 큰 수, 작은 수, 큰 수, 작은 수, 큰 수이다. 0이 허용된다면 (670,0,670,0,670)으로 670에 닿을 수 있지만, 모든 수가 1 이상이어야 하므로 강제로 들어간 그 한 칸이 이미 상한이 걸린 쌍 안에 앉아 가장 큰 합을 정확히 하나만큼 밀어 올린다. 그래서 답은 (B) 671이고, (669,1,670,1,669)이 671이 실제로 일어남을 보여 준다.
- 가장 큰 값을 네 개의 상한으로 바꾸기
- 조건 없는 문제를 먼저 풀기
- 양수 조건이 가운데 수를 눌러 준다
- 부등식을 M에 대해 풀기
- 671에 도달하는 배치 만들기
- 하한을 다른 방법으로 다시 확인하기
- 나머지 보기 지우기