AMC 10 · 2010 · #18

학년 12 probability

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilityvector-additionexpected-valuetrigonometric-ratios identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: geometric-probabilityvector-addition

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

길이가 같은 세 번의 도약이 서로 무관한 임의의 방향으로 나아간다. 출발점 가까이 내려앉을 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{1}{6}$

(B)

$\dfrac{1}{5}$

(C)

$\dfrac{1}{4}$

(D)

$\dfrac{1}{3}$

(E)

$\dfrac{1}{2}$

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

무작위 방향 세 개를 한꺼번에 붙잡기는 어렵다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 여정을 나눈다. 먼저 첫 번째와 두 번째 점프를 길이가 무작위인 하나의 걸음 vec S로 합치고, 그다음 세 번째 점프가 무엇을 해야 하는지 묻는다. 도구 #4(변수 도입하기)로 처음 두 점프 사이의 각에 이름을 붙인다. R는 오직 그 각에만 의존하기 때문이다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 "1미터 이내에 도착한다"를 코사인에 대한 단순한 부등식으로 바꾼다. 도구 #1(그림 그리기)은 그 부등식을 방향 원 위의 호로 읽어 확률로 만든다. 핵심이 되는 수는 도구 #15(다르게 정리하기)다. 세 개의 절대 방향 대신 (처음 두 점프의 합의 길이, vec S를 기준으로 잰 세 번째 점프의 방향)이라는 좌표로 바꾸면 두 부분이 서로 독립이 되기 때문이다. 마지막으로 도구 #5(패턴 찾기)가 마무리한다. 얻어진 조건부 확률이 반각에 대한 직선 텐트 모양이라서 평균을 구하는 데 계산이 전혀 필요 없다.

1STEP 1

점프를 벡터로 바꾸기

도약이 세 개의 단위 벡터가 된다.

P=Pr(|vec u₁+vec u₂+vec u₃| ≤ 1), |vec u₁|=|vec u₂|=|vec u₃|=1

2STEP 2

처음 두 점프 붙이기

처음 둘을 붙이면 길이 하나가 남는다.

vec S=vec u₁+vec u₂, R=|vec S|∈[0,2], 최종 변위=vec S+vec u₃

3STEP 3

두 점프 뒤의 길이

그 길이는 둘 사이 각에 달려 있다.

4STEP 4

마지막 방향은 여전히 균등하다

마지막 방향은 여전히 균등하고 독립이다.

ψ=arg(vec u₃)-arg(vec S) 는 [0,2π)에서 균등하고 R와 독립

5STEP 5

언제 집으로 돌아오는가

집에 닿는 것이 하나의 코사인 조건이 된다.

|vec S+vec u₃|²=R²+1+2Rcosψ ≤ 1⇔ 2Rcosψ ≤ -R²⇔ cosψ ≤ -R/2

6STEP 6

조건을 호로 읽기

그 조건은 원의 호로 읽힌다.

Pr(cosψ ≤ -r/2)=2arccos(r/2)/2π=arccos(r/2)/π

7STEP 7

텐트 함수의 평균

텐트 모양 함수를 평균 내면 사분의 일이 나온다.

arccos|cos t|= t,&0 ≤ t ≤ π/2 ; [2pt]π-t,&π/2 ≤ t ＜ π ⟹ E[arccos(R/2)]=1/2·π/2=π/4

8STEP 8

확률 조립하기

확률은 1/4, 보기 (C).

P=E[arccos(R/2)/π]=1/π·π/4=1/4 ⟹ (C)

정답

1/4

세 가지 내부 검증이 모두 일치한다. 첫째, 조건부 공식 arccos(r/2)/π는 양 극단에서 눈으로 확인된다. 처음 두 점프가 서로 상쇄될 때(r=0) 1/2, 두 점프가 일직선으로 겹칠 때(r=2) 0이다. 둘째, 같은 방법을 점프 세 번이 아니라 두 번에 적용하면 Pr(2|cosθ/2| ≤ 1)=1/3이 나오므로, 1/4 ＜ 1/3이라는 방향이 옳다. 무작위 점프가 하나 더 늘면 개구리는 더 멀리 퍼지기 때문이다. 셋째, 완전히 다른 경로(아래)도 적분 없이 1/4에 도달한다. 다만 널리 쓰이는 지름길 하나는 경고가 필요하다. "첫 점프는 무시하고, 나머지 두 점프는 반지름 2인 원판 위에 균등하게 떨어지므로 답은 넓이비 π/4π=1/4"라는 논법은 맞는 숫자를 틀린 이유로 얻은 것이다. 두 단위벡터의 합은 그 원판 위에 균등하지 않다. 그 반지름 방향 밀도는 2/(π√(4-r²))로 r=2 근처에 몰리는 반면, 균등한 원판이라면 밀도가 r에 비례해 r=0에서 0이 되어야 한다. 같은 지름길을 목표 반지름 1/2에 적용하면 1/16=0.0625를 예측하지만 실제 값은 약 0.0481이다. 반지름 1에서의 일치는 증명이 아니라 우연이다.

💡핵심 정리

처음 두 점프를 한 걸음으로 접으면, 그 걸음이 짧아질수록 마지막 점프가 개구리를 집으로 데려올 확률이 곧은 경사로처럼 오르내린다. 경사로의 평균은 그 가운데 값이라 답은 1/4다.

점프를 벡터로 바꾸기
처음 두 점프 붙이기
두 점프 뒤의 길이
마지막 방향은 여전히 균등하다
언제 집으로 돌아오는가
조건을 호로 읽기
텐트 함수의 평균
확률 조립하기