AMC 10 · 2010 · #2
학년 4 geometry-2d
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L 자체에는 넓이 공식이 없지만, L은 넓이 공식이 있는 직사각형들로 이루어져 있다. 그래서 Tool #7(작은 문제로 쪼개기)로 직사각형으로 잘라 더한다. 그런데 걸림돌이 먼저 있다. 여섯 변 중 두 개에는 숫자가 없고, 어떻게 자르든 그 두 길이 중 하나가 필요하므로, 그것을 확정하기 전에는 아무것도 곱할 수 없다. Tool #4(변수 도입하기)로 그 두 변에 이름을 붙이고, Tool #13(대수로 바꾸기)로 유일하게 쓸 수 있는 구조적 사실 — 경계가 닫혀 있다는 것 — 에서 값을 강제한다. 길이가 모두 정해지면 Tool #16(관점 바꾸기)으로 바깥에서 안으로 넓이를 다시 계산한다. L을 채워 큰 직사각형으로 만든 뒤 빠진 조각을 빼는 방식으로, 잘라 더한 결과를 검산한다.
길이가 없는 두 변에 이름 붙이기
두 변에 길이가 없으니 이름을 붙인다.
아직 모르는 길이는 곱할 수 없으니, 빠진 두 변이 진짜 첫 번째 질문이다.
2.MD.B.5Introduce A Variable닫힌 경계로 a와 b 구하기
고리를 닫으면 두 길이를 되찾는다.
제자리로 돌아오는 여행은 내디딘 걸음을 모두 되돌려야 하므로, 좌우 이동끼리 상쇄되고 위아래 이동끼리도 상쇄된다.
한 바퀴 돌아오는 길은 밟은 걸음을 모두 되돌려야 하므로, 옆으로 간 것끼리, 위아래로 간 것끼리 서로 지워진다.
▸ 왜?
각 방향으로의 전체 이동은 낱낱의 이동을 더한 것이다.
▸ 왜?
처음 자리로 돌아온다는 것은 각 합이 0이라는 뜻이므로, 모든 이동이 그 반대되는 이동으로 갚아진다.
L을 직사각형 두 개로 자르기
직사각형 둘로 자르면 22다.
겹치지 않게 도형을 자르면 넓이는 그냥 더해진다.
3.MD.C.7Identify Subproblems큰 직사각형으로 채워서 검산하기
큰 직사각형으로 채워 봐도 22다.
직사각형에서 한 입 베어 물고 남은 것은 직사각형에서 그 한 입을 뺀 것이다.
4.MD.A.3Change Focus Count The Complement도형이 변의 길이 일부를 숨기고 있으면 한 바퀴 빙 둘러 걸어 보라 — 그 여행은 반드시 닫혀야 하고, 그 사실만으로 빠진 길이가 나온다.
- 길이가 없는 두 변에 이름 붙이기
- 닫힌 경계로 a와 b 구하기
- L을 직사각형 두 개로 자르기
- 큰 직사각형으로 채워서 검산하기
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