AMC 10 · 2010 · #20

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

sequences-geometricpythagorean-identitytrigonometric-ratiosexponents convert-to-algebrapattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-geometricpythagorean-identity

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 각의 삼각함수 값 셋이 등비수열을 이룬다. 주어진 값이 몇 번째 항인지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

세 개의 삼각함수 값을 하나의 등비수열에 밀어 넣는 조건은 사실 미지수 하나에 대한 방정식 하나이다. c=cos x 라고 이름 붙이면 공비도, 각 항도, 목표값 1+cos x 도 모두 c 의 거듭제곱으로 모인다. 그렇게 수열을 다시 쓰면 어떤 한 항이 1이 되고, a₁이 아니라 그 항을 기준으로 세면 수열 전체가 한눈에 들어온다.

1STEP 1

'등비'를 하나의 식으로 바꾸기

등비가 하나의 단순한 방정식이 된다.

cos² x=sin xtan x=sin x·(sin x)/(cos x)=(sin² x)/(cos x) ⟹ cos³ x=sin² x

2STEP 2

sin²x+cos²x=1 끌어오기

피타고라스 항등식이 그것을 닫는다.

c³ = 1-c² ⟺ c³+c²-1=0, c=cos x

3STEP 3

그런 각이 정말 있는지 확인하기

그런 각이 실제로 존재한다.

f(0)=-1, f(1)=1, c≈ 0.7549, sin² x=c³≈ 0.4302 ＞ 0

4STEP 4

1이 되는 항 찾아내기

네 번째 항이 정확히 1이다.

a₄=sin x((cos x)/(sin x))³=(cos³ x)/(sin² x)=(sin² x)/(sin² x)=1

5STEP 5

a₁이 아니라 a₄부터 세기

거기서부터 세면 모든 항이 거듭제곱이 된다.

a_n=a₄ r^ n-4=r^ n-4 (n ≥ 1)

6STEP 6

1+cos x 가 a₈ 임을 알아보기

찾는 값은 8번째 항과 같다.

a₈=r⁴=(cos⁴ x)/(sin⁴ x)=(cos⁴ x)/(cos⁶ x)=1/(cos² x), c²(1+c)=1 ⟹ 1+cos x=1/(cos² x)

7STEP 7

다른 번호는 될 수 없음을 보이기

엄밀히 커지므로 다른 번호는 안 된다.

|r|=1/√(c)≈ 1.151 ＞ 1, |a_n|=|r|^ n-4 는 순증가 ⟹ n=8

정답

숫자로 확인해 보자. 삼차방정식에서 cos x≈ 0.754878 이므로 sin x≈ 0.655866, tan x≈ 0.868837이다. 0.655866/0.754878≈ 0.868837 이므로 처음 세 항이 실제로 공비 r≈ 1.150964의 등비수열을 이룬다. 수열은 0.6559, 0.7549, 0.8688, 1, 1.1510, 1.3247, 1.5247, 1.7549로 이어지고 1+cos x≈ 1.754878은 a₈과 일치하며 그 이전 항과는 일치하지 않는다. 다른 후보 번호들의 값은 1, 1.1510, 1.3247, 1.5247로 모두 분명히 작다. 한 가지 짚어 둘 경우가 있다. cos x 는 하나로 정해지지만 sin x 는 음수일 수도 있다(x≈ 0.7153 대신 x≈-0.7153). 그러면 r 와 홀수 간격 항 a₅,a₇의 부호가 바뀌지만 a₄=1과 a₈=r⁴≈ 1.754878은 그대로이므로, 두 각 중 어느 쪽이든 답은 달라지지 않는다.

💡핵심 정리

등비수열에서 어떤 항이 1이 되면 그 항을 기준으로 세어 보자. 나머지 항은 모두 공비를 떨어진 거리만큼 거듭제곱한 값일 뿐이다.

'등비'를 하나의 식으로 바꾸기
sin²x+cos²x=1 끌어오기
그런 각이 정말 있는지 확인하기
1이 되는 항 찾아내기
a₁이 아니라 a₄부터 세기
1+cos x 가 a₈ 임을 알아보기
다른 번호는 될 수 없음을 보이기