AMC 10 · 2010 · #22
학년 11 geometry-2dnumber-theory답을 골라 클릭하세요.
도구 #14 (극단의 원리): 최댓값을 묻는 문제이므로 할 일이 두 가지다 — 큰 값을 실제로 만들어 보이고, 그보다 큰 것이 없음을 증명하기. 도구 #1 (그림 그리기): BD 를 그으면 ABCD 가 그것을 공유하는 두 삼각형으로 쪼개지고, 여기서 모든 것이 시작된다. 도구 #7 (쪼개기): 두 삼각형에 각각 코사인법칙을 쓰고, 원을 통해 둘을 연결. 도구 #4 (변수 도입): 변을 a,b,c,d 로 두면, 미지의 각은 구하는 대상이 아니라 지워 버릴 변수임이 드러난다. 도구 #3 (가능성 지우기): 기하가 2BD²=a²+b²+c²+d²로 무너지고 나면, 11, 13, 그리고 14를 쓰지 않는 경우를 제거해 탐색을 끝낸다.
BD 로 사각형 쪼개기
대각선이 도형을 두 삼각형으로 쪼갠다.
BD 는 두 삼각형이 함께 갖는 유일한 선분이므로, 두 번 적어 볼 가치가 있는 양이다.
6.EE.A.2Draw A Diagram원을 각에 활용하기
원이 두 각을 보각으로 만든다.
마주 보는 두 꼭짓점이 서로 보완하는 호를 바라보므로, 둘이 합쳐 원 전체를 담당한다.
마주 보는 두 꼭짓점은 서로를 채우는 호를 바라보므로, 둘이 합쳐 원 전체를 설명한다.
▸ 왜?
원 위의 각은 맞은편 호를 재며, 두 맞은편 호가 합쳐 원 전체를 이룬다.
▸ 왜?
한 바퀴는 정해진 합이므로, 두 각은 합쳐 평각이 될 수밖에 없다.
두 삼각형에 코사인법칙
각 삼각형이 코사인 식 하나를 준다.
한 변을 공유하는 두 삼각형은 같은 길이에 대한 두 가지 식을 주고, 원이 두 각을 함께 움직이게 만든다.
11.G-SRT.D.10Identify Subproblems더하면 각이 사라진다
더하면 각이 사라진다.
ad=bc 는 미지각을 구하지 않고 소거할 수 있게 해 주는 바로 그 조건이다.
6.EE.A.3Introduce A Variable11과 13 지우기
큰 소수는 변에서 배제된다.
큰 소수 변은 자기 배수인 짝을 필요로 하는데, 그 다음 배수가 이미 14를 넘는다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities14 없는 경우의 상한
가장 큰 변이 없으면 합이 모자란다.
14 없이 남은 것 중 가장 큰 넷을 그냥 집는 것이 최대로 후한 경우이므로, 그것이 이 경우 전체의 상한이 된다.
6.EE.A.2Eliminate Possibilities14가 들어오면 나머지는 강제된다
그것이 들어오면 나머지 셋이 강제된다.
14가 7을 끌고 들어오는 순간 남은 두 변은 d 와 2d 로 정해지므로, d 를 한계까지 올리면 탐색이 끝난다.
4.OA.B.4Extreme Principle그 도형이 실제로 존재하는지 확인
그 사각형이 실제로 존재한다.
가장 긴 변에 나머지 세 변으로 걸어서 닿을 수 있어야 네 길이가 원 위에서 만난다.
7.G.A.2Draw A Diagram최댓값을 길이로 바꾸기
대각선은 그 합의 절반의 제곱근이다.
제곱근 한 번이면 가장 큰 제곱합이 가장 긴 대각선으로 바뀐다.
8.EE.A.2Extreme Principle이상해 보이는 조건 BC · CD=AB · DA 는 미지각을 소거하기 위해 있는 것이고, 그것이 사라지고 나면 2BD²은 네 변의 제곱의 합일 뿐이어서, 기하 문제가 '두 짝의 곱이 같으면서 15 미만인 서로 다른 네 수 중 가장 큰 조합 찾기'로 바뀐다.
- BD 로 사각형 쪼개기
- 원을 각에 활용하기
- 두 삼각형에 코사인법칙
- 더하면 각이 사라진다
- 11과 13 지우기
- 14 없는 경우의 상한
- 14가 들어오면 나머지는 강제된다
- 그 도형이 실제로 존재하는지 확인
- 최댓값을 길이로 바꾸기